¿Por qué es que hay muchos casos en los análisis real y complejo, en el que los valores de una función en el interior de algunas de dominio son completamente determinada por los valores que toma en la frontera?
Sé que esto tiene algo que ver con la versión general del teorema de Stokes, pero no estoy lo suficientemente avanzada como para entender esto aún - ¿alguien tiene un (semi) intuitiva explicación para este tipo de fenómeno?
Bien podría ser más fácil comenzar con la versión del teorema de stokes usted probablemente sabe mejor, el teorema fundamental del cálculo: $\int_a^b df = f(b) - f(a)$ (cuando sea aplicable).
Un boceto de (a) la prueba es que $\int_a^b df = \lim_{N \to \infty} \Sigma_1^N (x_i - x_{i-1})df(y_i)$ donde $y_i \in [x_{i-1}, x_i]$. Por el valor medio teorema, podemos optar $y_i \in [x_{i-1}, x_i]$ tal que $f(x_i) -f(x_{i-1}) = (x_i - x_{i-1})df(y_i)$, y así en la suma de cancelar un montón. Pero usted no puede continuar este proceso en virtud pasado los bordes, la pelota se detiene allí.
De alguna manera, en algunas de estas cosas, usted puede pensar que el problema ha de ser empujado a los lados, ya que un poco pequeñas "células" y sus interacciones en el interior tienen ciertas propiedades atractivas que le permite hacer esto, pero el borde carece de esta.
Otro ejemplo es el teorema de los residuos; nada interesante sucede excepto en los polos.
Este podría ser un poco tangental, es de de Rham cohomology, contráctiles conjuntos, los bloques de construcción de los colectores son aburridos, pero, ¿cómo de que el parche no es. Interesante cohomology es un fenómeno emergente.
Vamos a presentar primero de Stokes teorema simbólicamente:
$$\int_{\partial\Omega}\omega=\int_\Omega d\omega$$
Intuitivamente, $\Omega$ es algo de 'dominio', con el límite de $\partial\Omega$, e $\omega$ es algo de 'función' con derivados $d\omega$. Por lo que el teorema es de aproximadamente declarando que "la integral de una función en un límite es la integral de la derivada en el cerrado de dominio."
Para más concreción, y a ver intuitivamente por qué este teorema es verdadero, que es, por qué el límite de valores es tan importante, vamos a considerar dos ejemplos análogos de cálculo vectorial.
El Teorema De La Divergencia
$$\iint_{\partial V}{\mathbf {F}}\cdot d\mathbf n=\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf F)dV$$
Aviso que esto toma la forma de Stokes teorema, donde nuestro dominio $\Omega$ es ahora algo de volumen $V$$\mathbb{R}^3$, nuestra función $\omega$ es ahora un campo de vectores $\mathbf F$, y nuestra derivado $d$ es la divergencia de un campo vectorial. En términos de flujo de fluido, lo que hace de la divergencia de la medida? Imagina un pequeño cubo se coloca en un punto de $(x,y,x)$$V$. La divergencia de $\mathbf F$ en este punto es un escalar número de la medición de la tendencia del fluido a desplazarse dentro o fuera del cubo. El lado derecho de la Divergencia teorema integra este valor a través del volumen $V$.
Ahora, si llenamos la región de $V$ con cubos pequeños, tiene sentido que los límites de los cubos de tocarse el uno al otro en el interior se anulan (flujo de fluido de uno es el flujo de fluido en otro), por lo que todos tenemos que calcular es el fluido que se mueve a través de $\partial V$. Esto es exactamente lo que la integral en el lado izquierdo calcula.
Kelvin-Teorema De Stokes
$$\oint_{\partial S}{\mathbf {F}}\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf n$$
Aviso que esto toma la forma de Stokes teorema, donde nuestro dominio $\Omega$ es ahora un poco de la superficie $S$$\mathbb{R}^3$, y el derivado $d$ es el curl de un campo vectorial. En términos de flujo de fluido, lo que hace curl de medir? Imagina un pequeño molinillo colocado en un punto de $(x,y,x)$$S$. El curl de $\mathbf F$ en este punto es un vector de medición de la tendencia de la rueda giratoria a girar. El vector que tiene la dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha. El lado derecho de la Kelvin-teorema de Stokes se integra estos vectores a lo largo de la superficie de la $S$.
Ahora, si llenamos la superficie de la $S$ con pequeños molinillos, tiene sentido que los límites de molinetes de tocarse el uno al otro en el interior se anulan (un flujo causando un molinillo de viento para girar a la derecha contribuirá a una rotación en sentido antihorario adyacente de molinete), por lo que todos tenemos que calcular es el flujo de fluido que se mueve alrededor de $\partial S$. Esto es exactamente lo que la integral en el lado izquierdo calcula.
Cuando una función tiene cero derivados dentro de un volumen, sus valores están determinados por las fuentes fuera del volumen, lo que se mide sólo por los valores del campo en el límite.
Tengo que? Aquí está la explicación matemática.
Hay muchas funciones de $f$ que obedecer a los básicos de ecuaciones diferenciales $\nabla F = 0$. Podríamos estar hablando de un campo escalar, o si se extiende la idea de la "degradado" para actuar en campos vectoriales, entonces esta condición es que el campo es tanto divergenceless y curlless. Vamos a no preocuparse sobre cómo el gradiente puede ser ampliado en esta moda-eso es un montón de tensor de cosas que realmente no necesitamos que preocuparse. Vamos a mantener en mente que esta es la condición que se imponga.
Se suele decir que las ecuaciones del tipo $\nabla F = j$ representan un campo de $F$ que impregna el espacio con una fuente de $j$. Vamos a entender primero cómo que el origen de los $j$ determina el campo.
Para ello, primero necesitamos la función de Green para $\nabla$. Vamos a llamar a $G$, y obedece a $\nabla G = \delta$, la función delta de Dirac.
Aquí es donde la generalizada del teorema de Stokes. Se nos dice que
$$\oint_{\partial M} G(r-r') \, dS' \, F(r') =- \int_M \delta(r-r') \, dV' \, F(r') + (-1)^{n-1} \int_M G(r-r') \, dV' \, j(r')$$
O, de manera equivalente,
$$F(r) = (-1)^{n-1} \oint_{\partial M} G(r-r') \, \hat n |dS'| \, F(r') + \int_M G(r-r') j(r') \, |dV'|$$
Se dice que, en cualquier punto de $r$, la función de $F(r)$ está determinado por los valores en la frontera, así como los valores de sus derivados en todo el volumen.
Por otra parte, sólo cuando el que la derivada es cero, la función es determinado completamente por sus valores en la frontera.
En la física, esto es común en el electromagnetismo problemas: no puede ser no corrientes en un volumen dado, pero hay algunos de origen fuera del volumen en su lugar. Estos producen valores del campo en la frontera, que a su vez afectan a los valores dentro del volumen.
Edit: En resumen, si usted sabe de un campo de derivados en todas partes, usted debería ser capaz de reconstruir el propio campo. Stokes teorema nos permite dividir la información en dos categorías: fuentes fuera de un volumen dado, y fuentes de interior. Información procedente de fuentes externas es totalmente capturado por la superficie de la integral; la información de las fuentes en el interior tiene que ser calculada a través del volumen integral.
Funciones completamente determinado por sus valores de superficie son aquellos que, en particular, no tienen fuentes dentro del volumen.
Usted tiene que ser un poco cuidadoso con esa comparación. En análisis complejo, usted realmente tiene (para holomorphic funciones) que los valores en el límite completamente determinar los valores dentro. Mi interpretación de por qué esto funciona, hay que ser diferenciable es mucho más fuerte de la propiedad para funciones complejas que la de los de verdad. Para funciones complejas, implica ser representable (localmente) por una potencia de la serie, y por uno que converge en una forma que permite un componente sabio de integración y de diferenciación. Entonces, lo que se pretende es que una vez que se conozcan los resultados de la evaluación de la potencia de serie en todos los puntos en el límite, se puede determinar que el individuo y los coeficientes de la función es, pues, determinada únicamente.
Stoke teorema, por otro lado, habla sobre la relación de una integral sobre un límite frente a la integral de algún tipo de derivado sobre todo el volumen. Usted puede ver esto como el (bastante amplia) la generalización de una dimensión anti-derivados. Si $F$ es la anti-derivada de $f$, es decir,$\frac{dF}{dx} = f$,$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$. El punto de vista de la mano izquierda como una integral sobre el "volumen" de [a,b] y el lado derecho como una integral sobre la frontera "{a,b}".
Si desea calcular la tasa a la que algo está creciendo dentro de una superficie (es decir, ppm de algunos de moléculas en un líquido, o electrones, etc), a continuación, es útil saber la velocidad a la que esas partículas están fluyendo a través de la frontera de la superficie.
Considere, por ejemplo, la corriente eléctrica. La corriente y de la frontera de una superficie indica la cantidad de la carga dentro de la superficie del edificio o de la disminución.
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