Como se ha mencionado, la aplicación de una función o de un operador a ambos lados de una igualdad que está bien. Es en la recuperación de las aportaciones que las cosas se ponen feas.
En general, la anulación de una función en ambos lados de una ecuación, es decir, con la esperanza de que
$$
f(x)=f(y)\implica x=y
$$
sólo es cierto si la función original $f$ es inyectiva. Pensar en la siguiente
$$
x^3=y^3\implica x=y
$$
donde nos llevó raíces cúbicas, la inversa de cubicación. Contraste esto con,
$$
\cos0=\cos2 \pi
$$
pero $0\ne 2\pi$ porque $\arccos$ no es un buen inversa para $\cos$ (es un multivalor "función" y sólo funciona como una adecuada inversa restringida intervalos), y esto es lo que se aplicó a ambos lados para derivar la estupidez.
Sin embargo, no todo está perdido con no inyectiva funciones. Por ejemplo, usted probablemente está familiarizado con el siguiente tipo de argumento
$$
y^2=x^2\implica que|x|=|y|
$$
lo que significa que $x=y$ hasta un signo. Del mismo modo, para el ejemplo anterior
$$
\cos x=\cos y\implica x=y+\pi k,\;k\in \mathbb{Z}
$$
Así que, como sabemos lo que hemos perdido y seguimos la pista de ello, puede ser posible para "deshacer" aún no inyectiva funciones.
Mucho el mismo concepto que está en juego cuando se integra la ecuación diferencial, sabemos que si queremos integrar de forma indefinida y encontrar una primitiva, esto es realmente la solución para una función a una constante, por ejemplo,
$$
x'(t)=c\implica x=ct+d
$$
para cualquier $d\in \mathbb{R}$. Realmente es el mismo que el de la raíz cuadrada ejemplo, estamos haciendo seguimiento de lo que era potencialmente perdidos en la diferenciación de llegar a la fórmula $x'(t)=c$, es decir, cualquier información acerca de la constante que se desvanece cuando nos diferencian. Lo que hacemos básicamente es "invertir" para encontrar un posible una clase de funciones a través de la integración.
Más ejemplos, que son sin duda correcto que simplemente porque dos funciones son iguales en un punto no significa que sus tangentes son iguales. Sin embargo, si son iguales en un abrir barrio (y diferenciable, por supuesto), se pueden diferenciar en algún punto en el intervalo y mantener la igualdad. De hecho, a la luz del ejemplo anterior (y tal vez algunos visual de la intuición), usted puede hacer esto si uno es solo un desplazamiento vertical (es decir, el otro, además de una constante) de la otra en un barrio. En cuanto a tu ejemplo,
$$
x^3+x=7
$$
es cierto, en los puntos, no es un funcional de la ecuación en un barrio, por lo que no es válido para diferenciar ambos lados y la reivindicación de la igualdad.
Como para la integral se transforma, la historia se vuelve un poco más complicado, pero el corto de él para que se porten bien funciones es que la transformada de Fourier es , de hecho, es invertible, y por la discusión anterior, se puede concluir que
$$
\hat{f}=\hat{g}\ffi f=g
$$
para decir funciones continuas $f$$g$. De igual manera, con la transformada de Laplace.
Espero que esto ayude! Es un gran y reflexivo pregunta.
