Prueba de las propiedades del producto del tensor

Question

En la página 25 de Atiyah-Macdonald "Introducción al álgebra conmutativa", dice el autor que

"Nunca vamos a volver a utilizar la construcción del producto tensor dado anteriormente y que el lector puede olvidarse de él si lo prefiere. Lo que es esencial a tener en cuenta es la definición de la propiedad del producto tensor."

No estoy seguro si entiendo esa parte. Cuando vamos a comprobar algunas de las propiedades del tensor de producto, por lo general, el uso de los generadores (puro tensores). A mí me parece que ese tipo de paso se hace uso de la construcción de producto tensor.

Así que mi pregunta es, hay una puramente pruebas categóricas (sin mencionar a los elementos, sólo el uso universal de la propiedad) de varias propiedades del tensor de producto? (Incluso para el más simple como $M\otimes N$ $\cong N\otimes M$, todas las pruebas a las que me han visto involucran elementos cuando la comprobación de los dos mapas de universal de la propiedad son inversos el uno al otro).

Si es así, es posible utilizar este tipo de método para las otras categorías de la categoría de módulos? (Por ejemplo, para el producto tensor de poleas.)

Answer 1

$\newcommand{\tensor}{\otimes}\newcommand{\from}{\colon}$Deje $M \tensor N$ $A$ módulo, y $f \from M \times N \to M \tensor N$ ser un bilineal mapa que cumplen la característica universal del producto tensor. La escuela primaria, el tensor de $m \tensor n$ se define a ser $f(m,n)$. Vamos a probar usando el universal de la propiedad y no el de la construcción que:

$M \tensor N$ es generado por los elementos de a $m \tensor n$ $m$ varia $M$ $n$ varia $N$.

Deje $P$ ser el submódulo generados por la primaria tensores. Entonces por bilinearity, la imagen de $f$ realidad se encuentra en $P$. Nos deja denotar por $f'$ el mapa de $M \times N \to P$, lo que concuerda con $f$ en todas partes. Deje $i$ denotar la inclusión $P \to M \tensor N$.

Ahora, $f = i \circ f'$ $f'$ es bilineal. Por lo tanto, hay un único mapa $g \from M \tensor N \to P$ tal que $g \circ f = f'$. Ahora, $g \circ i = 1_P$, ya que el $$g(m \tensor n) = g(f(m,n)) = f'(m,n) = m \tensor n \ .$$ Finalmente, para $m \in M$, $n \in N$, tenemos que $$ i(g(m \tensor n)) = i(m \tensor n) = m\tensor n\ ,$$ y, por tanto,$i \circ g \circ f = f = 1_{M \tensor N} \circ f$. Ahora, teniendo en cuenta que el $f$ ser un bilineal mapa, factores a través de la misma de una manera única, $i \circ g = 1_{M \tensor N}$. En particular, $i$ es surjective, es decir,$P = M \tensor N$.

Answer 2

Hay una prueba de que el universal propiedad determina el producto tensor de módulos hasta isomorphisms. La construcción inicial sólo se utiliza para probar la existencia del producto tensor. No es una mala cosa para visualizar por los tensores, pero a veces es mejor usar estrictamente universal de los bienes. $\require{AMScd}$ \begin{CD} A\times B @>\tau>> A\otimes B\\ @V f V V\# @V \exists !\varphi VV\\ B\otimes A @= B\otimes A \end{CD} Dada una función bilineal $f$, no hay una única morfismos $\varphi$ que hace que el diagrama de recorrido y que debe ser el morpism que los mapas de $b\otimes a\mapsto a\otimes b$. Y por el intercambio de $A\otimes B$ $B\otimes A$ en el diagrama también se obtiene una única morfismos $\varphi'$. Y $\varphi\varphi'=1_{B\otimes A}$, $\varphi'\varphi=1_{A\otimes B}$.