¿Por qué está cerrada la proyección de un polytope cerrado?

Question

En general, la proyección de un conjunto cerrado en un subespacio no resulta en un conjunto cerrado. Sin embargo, pude comprobar que en $\mathbb{R}^n$, la proyección de un cerrado polytope (intersección de un número finito cerrado la mitad de los espacios) en un 1 dimensiones subespacio cerrado. Sin embargo, la prueba que participan de la inducción en la dimensión y el uso de la teoría de la optimización lineal.

Hay un corto periodo de topológica de la prueba de este hecho? Y tal vez una generalización de que la proyección en un m-dimensional subespacio conserva cierre? Intuitivamente imaginar la sombra de un polytope, creo que es cierto.

Answer 1

Hay una puramente topológico manera de ver esto. Las otras pruebas son, probablemente, más sensato, pero he querido rescatar la intuición sobre el límite de puntos.

Primero de todo, si estamos buscando a un delimitada polytope $P$, $P$ es compacto. Si $Y$ es cualquier espacio topológico, y $f:\mathbb{R}^n\to Y$ es cualquier función continua, entonces $f(P)$ es compacto así. Si $Y$ es Hausdorff, esto implica que $f(P)$ es cerrado.

Esto no ponerse a trabajar de inmediato para una desenfrenada polytope, pero puede ser modificado para trabajar por compactification. Por ejemplo, si $P$ es un semi-espacio con límites que contiene el origen, entonces podemos compactify $\mathbb{R}^n$ al cierre, sólido, bola - mediante la adición de un punto en el infinito a cada rayo desde el origen - de modo que $P$ se extiende a un sólido hemisferio. Entonces cualquier proyección sobre un subespacio $\mathbb{R}^n \to V$ se extiende, naturalmente, a una proyección de bolas, por lo que podemos aplicar la anterior compacidad argumento.

Answer 2

Esta es una propiedad de la linealidad de los mapas en $\mathbb{R}^n$, no solo de las proyecciones.

El resultado clave aquí es que la clase de los conjuntos poliédricos (intersección de un número finito de cerrado de la mitad de los espacios) es el mismo que el de la clase de finitely generado conjuntos (Rockafellar, "análisis Convexo", Teorema de 19.1).

Para citar Rockafellar, "Esta clásica resultado es un excelente ejemplo de un hecho que es completamente obvio intuición geométrica, sino que maneja un importante algebraicas contenido y no es trivial demostrar".

Supongamos $P$ es un poliédrica, entonces existen vectores $v_1,...,v_l, d_1,....,d_m$ ($l$ o $m$ puede ser de cero con los ajustes pertinentes, el $v_i$ 'puntos', $d_j$ 'direcciones') tal que $P = \{ \sum_i \lambda_i v_i + \sum_j \mu_j d_j | \sum_i \lambda_i =1, \lambda_i \ge 0, \mu_i \ge 0 \}$.

Supongamos $A$ es un operador lineal. Entonces $AP = \{\sum_i \lambda_i A v_i + \sum_j \mu_j A d_j | \sum_i \lambda_i =1, \lambda_i \ge 0, \mu_i \ge 0 \}$, por lo tanto $AP$ es finitely generado, y por lo tanto es una poliédrica conjunto, por tanto, cerrada.

Answer 3

Supongamos que tenemos un cerrado polytope que tiene la misma proyección de la original, sólido y cuya intersección con la superficie de proyección es también la proyección (estrictamente, la proyección de esta intersección en el espacio de proyección de la proyección). Desde el espacio de proyección de toma de la topología de subespacio, la intersección de este polytope con la proyección del espacio también está cerrada. El cociente de la topología en el espacio proyectado, se da por tomar cosets de la proyección del eje, lo cual está de acuerdo con la topología dada por la bijection el envío de un punto en el espacio de proyección con su topología de subespacio a su coset por la proyección del eje.

Tomando la suma de minkowski de la polytope con el eje de la proyección, la unión a lo largo de los cosets de la polytope por la proyección del eje, se iba a producir un adecuado conjunto cerrado, pero no tengo pruebas en la mano que está cerrado. Así, usted puede convertir el polytope a uno con la misma proyección, que es cerrado, y cuya intersección con el origen es idéntico al de la siguiente manera:

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Supongamos que el polytope está limitada a un lado de la superficie de proyección.

La traducción de la polytope a lo largo de la proyección del eje no cambia su proyección, por definición. Traducir el sólido donde se encuentra estrictamente a un lado de la superficie de proyección. Reflejando la polytope a través de la proyección del eje, vemos a un vértice es un delantero vértice de la fib el segmento de línea que une a su reflexión pasa por el interior de la polytope y/o su reflejo.

Tome el conjunto de vértices frontales, y tomar como un vector de translación de la negativa de uno de sus vectores proyecciones sobre la proyección del eje. La traducción de la parte delantera vértices a lo largo de la proyección del eje hasta que se encuentran en el lado opuesto de la proyección espacial del resto de los sólidos, que pueden ser separados de la parte de atrás de los sólidos por la superficie de proyección, y así en todos los de la traducción de obtener un convexo polytope a partir de la intersección de los sólidos con el semiplano que contiene la parte de atrás de la polytope con el límite de la superficie de proyección. El polytope la proyección es modificado por tomar estas variantes, sólo su intersección con la superficie de proyección.

En la repetición de esta traducción indefinidamente, la intersección de la modificación de los polytope con la superficie de proyección converge a la proyección: las aristas que conectan los vértices cuya proyección se encuentra en el límite de las proyecciones de un sólido a un punto en la superficie de proyección son los truncamientos de la sesgada de los bordes de la original, sólido, y por lo tanto el proyecto a los subconjuntos de sus proyecciones. Por lo tanto, los vértices de la intersección convertido arbitrariamente cerca de las proyecciones de los vértices en el límite de la proyección, y dado que las proyecciones de los bordes de la polytope son los bordes de sí mismos cuando no degenerada, el acuerdo de los bordes de la intersección con ellos es una función de la aprobación de sus vértices, y así sucesivamente.

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De lo contrario, supongamos que el polytope no está delimitado a un lado de la superficie de proyección.

La proyección es la unión de todas las intersecciones con la superficie de proyección de las traducciones de la polytope a lo largo de la proyección del eje. Por lo tanto, la unión de las proyecciones de dos polytopes dada por la restricción de la polytope a la mitad-de los espacios a ambos lados de la superficie de proyección es la proyección de la unión de estos dos polytopes - el original polytope. A continuación, el caso anterior puede ser aplicado para determinar que cada mitad de la proyección se cierra, lo que muestra que su unión es cerrado, lo que muestra la proyección original está cerrado.

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No quiero entrar en más detalles que los necesarios, pero usted puede construir polytopes de cada vértice y sus alrededores que tienen solo que un vértice, un vértice de proyección o bien se sitúa en la frontera o en el interior de la proyección, y es en el interior de la fib, moviendo el vector de espacio con centro en el vértice, el origen de los análogos de la proyección del espacio es interior a la proyección de la polytope construido desde el vértice de la proyección, que puede ser descrito en términos de la no-negativo múltiplos escalares de las proyecciones de sus bordes. Yo estaba trabajando hacia mostrando la proyección fue un convexo polytope así como a través de este. Yo sin duda prefiero el enfoque de cobre.sombrero publicado aunque, no me parece que esta definición de convexo polytopes cómodo del todo.

Answer 4

Las proyecciones son funciones continuas y funciones continuas conservan límites. Si un conjunto contiene todos sus puntos límite, entonces la imagen de debajo de una función continua que también contiene todos sus puntos límite. No estoy seguro de la parte superior de mi cabeza lo que las condiciones son que mantenga en un entorno de topología general, pero seguro que debe tener en espacio euclidiano.