calcular núcleos de matrices con ángulos

Question

Así que mi profesor me hizo esta pregunta:

Tengo que encontrar la base de los valores propios de esta matriz

\begin{pmatrix} \cos(q) & \sin(q)\\ \sin(q) & -\cos(q)\\ \end{pmatrix}

así que calculo los valores propios y encuentro que son 1 y -1. así que ahora necesito encontrar la base del núcleo de esas matrices

\begin{pmatrix} 1-\cos(q) & -\sin(q)\\ -\sin(q) & 1+\cos(q)\\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -1-\cos(q) & -\sin(q)\\ -\sin(q) & -1+\cos(q)\\ \end{pmatrix}

así que en realidad necesito encontrar

\begin{pmatrix} a \\ b\\ \end{pmatrix}

que funcionará como base para el núcleo de cada una de esas matrices.

¿pero cómo lo hago?

Sé cómo hacerlo cuando no hay ángulos, lo que significa que sólo lo compararía con cero.

por ejemplo en la primera matriz obtengo estas dos ecuaciones :

$x-xcos(q)-ysin(q)=0$

$-xsin(q)+y+ycos(q)=0$

por lo que obtengo esta ecuación:

$x(-sin(y)+((1-cos(y))/(sin(y)))+((cos(y)-cos(y)cos(y))/(sin(y))))=0$

lo que es cierto para cada $x$ y luego puedo asignar algún valor a $x$ por ejemplo cero y luego $y$ también es igual a cero, pero después de comprobarlo, no es cierto. ¿podría ayudarme? ¿Cómo puedo hacerlo?

Todo lo que nos dijo es que $q\neq{0}$ y $q\neq\pi$ y $q\neq{2}\pi $

y nada más.

Answer 1

Observe que $\cos(q-\pi/2)=\sin q$ y $\sin(q-\pi/2)=-\cos q$ . Así, la transformación lineal correspondiente a la matriz envía ${\bf i}\,(=\pmatrix{1\\0})$ a $\bf u$ en el círculo unitario con un ángulo $q$ (la primera columna) y envía ${\bf j}\,(=\pmatrix{0\\1})$ a $\bf v$ en el círculo unitario con un ángulo $q-\pi/2$ .

Si lo dibujas, podría quedar claro que el reflejo a través de la línea $e$ en ángulo $q/2$ también hace lo mismo con los vectores base $\bf i$ y $\bf j$ . Como ambas son lineales y coinciden en una base, obtenemos que ésta es la matriz de reflexión a través de $e$ . A partir de esto, obtenemos fácilmente los vectores propios: vectores paralelos a $e$ serán fijos (es decir, corresponden al valor propio $1$ ) y vectores ortogonales a $e$ se invertirán (es decir, corresponden al valor propio $-1$ ).