¿Grupo de la trenza, B_4-> > S_4 sobre, sé kernel es P_4, trenza puro grupo?

Question

Tengo un epimorphism $f:B_4\longrightarrow S_4$, del grupo de braid de 4 hebras en el grupo simétrico sobre los 4 elementos. ¿Es posible que el kernel no es isomorfo a $P_4$, el grupo de trenza puro en 4 hebras?

Answer 1

Por Ryan Budney la sugerencia, me fui por delante y demostrado en el caso general. Al $B_n$ a $S_n$ el kernel es isomorfo a $P_n$.

Una prueba de esquema es este: para las relaciones de la Artin generadores en $B_n$ debe ser satisfecho en la imagen. Las relaciones de $b_ib_{i+1}b_i=b_{i+1}b_ib_{i+1}$ puede reescribirse en términos de conjugación, de forma tal que todos los $b_i$ tiene la imagen de un ciclo fijo de la estructura.

Las relaciones que imponen a la conmutatividad de la no-adyacentes generadores implica que no adyacentes generadores se envían a las permutaciones con los ciclos, ya sea casual o discontinuo.

Se puede demostrar que para $n>4$ de las imágenes de no-adyacentes generadores deben ser disjuntas: algo técnico, pero no es difícil. (El $n=4$ de los casos se resuelve fácilmente con la mano o BRECHA).

Después de contar todos los otros extraños generador de $b_1,b_3,\ldots$, de los cuales hay $\lceil \frac n 2\rceil$ tenemos que deben ser transposiciones, ya $3\lceil \frac n 2\rceil>n$. Básicamente eso es todo: hasta el isomorfismo de $S_n$ las imágenes de los generadores de $B_n$ son los habituales de las transposiciones que inducen, por lo que el kernel es $P_n$.