Prueba del teorema de estructura de grupos abelian finito usando teoría de la representación

Question

Mientras busca en la wikipedia en francés página para el finito abelian grupos de estructura teorema (es decir, cada finito grupo abelian $G$ es isomorfo a un grupo de la forma$\mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z} \times \dotsb \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$,$a_1 \mid \dotsb \mid a_n$), el cual puede ser encontrado aquí para la gente de habla francesa, he encontrado escritos que no son de corto plazo de las pruebas del teorema de depender de la teoría de la representación.

Pero no he encontrado una prueba de este tipo en cualquier lugar; todos los libros clásicos de demostrarlo con la habitual generalización a finitely generadas $A$-módulos con $A$ principal anillo.

Alguien sabe nada acerca de este tipo de prueba ? Si es así, podría alguien darme una referencia de donde se llevaría a cabo, o escribir la prueba aquí ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo que me confunde es que esta página de la wikipedia distingue entre una prueba utilizando la teoría de representaciones de grupos finitos, y el otro(?) uno con los personajes, pero aquí es lo que puedo pensar:

Desde el personaje de la teoría, voy a utilizar, en particular, las siguientes:

Hecho. Deje $G$ ser un número finito de abelian grupo y que $g\in G$ tienen orden de $n$. Entonces no es un carácter lineal $\lambda\colon G\to \mathbb{C}^*$ que envía a $g$ a un primitivo $n$th raíz de la unidad.
Prueba. El envío de $g$ $e^{2\pi i/n}$define a un personaje de la $\langle g \rangle$, y debe haber algún irreductible (he. e., lineal) carácter de $G$ mentira más de este personaje. (Al $g$ tiene la primera energía de la orden, también se puede argumentar que debe ser algún personaje que es trivial en un elemento de primer orden contenida en $\langle g \rangle$.)

Ahora entre todos los caracteres lineales $\lambda\colon G\to \mathbb{C}^*$, elija uno en el que la imagen de $\lambda(G)$ tiene la máxima orden. Desde $\lambda(G)$ es un subgrupo finito de $\mathbb{C}^*$, es cíclico, decir $\lambda(G)= \langle \lambda(g_1)\rangle$ algunos $g_1\in G$. Yo reclamo que $G= \langle g_1 \rangle \times \ker \lambda$, y que el orden de $g_1$ es el exponente de $G$. A continuación, puede continuar por inducción.

Para cualquier $g\in G$ tenemos $\lambda(g) = \lambda(g_1)^k = \lambda(g_1^k)$ algunos $k$ e lo $gg_1^{-k}\in \ker\lambda$. Como $g\in G$ fue arbitraria, esto muestra $G=\langle g_1 \rangle \ker \lambda$. Por el Hecho, vemos que $\lambda(g_1)$ $g_1$ deben tener el mismo orden. Por lo tanto $\langle g_1 \rangle \cap \ker \lambda = \{1\}$ y nos han mostrado $G=\langle g_1 \rangle \times \ker \lambda$.

Por último, vamos a $\mu$ ser un carácter lineal de $\ker \lambda$. A continuación, $(\lambda\times \mu)$ es un personaje de $G$ $(\lambda \times \mu)(G)$ contiene $\lambda(g_1)$, y por lo tanto por maximality tenemos $(\lambda\times \mu)(G) = \langle \lambda(g_1) \rangle$. Este rendimientos $\mu(\ker\lambda) \subseteq \langle \lambda(g_1)\rangle$. Así que, de nuevo, desde el Hecho deque el exponente de a $\ker \lambda$ divide el orden de $g_1$.