Obtener cómo utilizar diferenciales para calcular el error, pero ¿por qué es un "buen" método? Por ejemplo, un problema estándar es algo así como:
Si el radio de un círculo es $3 \pm 0.1$ cm, encontrar la zona con el error.
¿Lo que está mal/indeseables con sólo encontrar el área $r=2.9$ y $r=3.1$ para determinar el error?
La cosa agradable sobre el uso de los diferenciales es que a medida que se ajusta el error, no es necesario calcular la más alta y la más baja de nuevo; sólo hay que multiplicar a algunos coeficiente.
Así, por su ejemplo, podemos tener una situación en la que nos preguntamos "si el radio de la $3 \pm 0.1$ cm, ¿cuál es el error?" Pero la pregunta más útil es "si queremos que el área a ser dentro de$.01$$3 \text{cm}^2$, ¿pequeño, el error en el radio necesario estar?" En este caso, podemos resolver para $\Delta r$, diciendo que si nuestra radio es $3 \pm \Delta r$ cm, entonces $$ \Delta \aprox 2 \pi (3 \text{cm})\Delta r \leq .01 \text{cm} $$ y resolver para $\Delta r$.
Por otro lado, haciendo las cosas de otra manera, tendríamos que resolver algo como $$ \Delta = \pi (3\text{cm} + \Delta r)^2 - \pi (3\text{cm})^2 \leq .01 \text{cm} $$ En esta situación, simplemente tenemos una ecuación de segundo grado, pero en otros se podría terminar con algo mucho más complicado.
Si entiendo tu pregunta correctamente, hay un par de razones que yo pueda ver. En primer lugar, puede utilizar una fórmula general en lugar de hacer cálculos con números específicos. Segundo, usualmente se puede ver cómo el error en la medición (por ejemplo) $r$ afecta el error en el valor calculado de $A(r)$.
Para $A(r)=\pi r^2$, si la medición de la radio es $r\pm\epsilon$, el área calculada es $A(r\pm\epsilon)\approx A(r) \pm A'(r)\epsilon= \pi r^2\pm 2\pi r\epsilon$. Esto muestra que el error en un área de aproximadamente $2\pi r$ veces el error en la medición del radio.
Espero que ese es el tipo de cosa que usted estaba buscando.
A veces usted no puede calcular el error exactamente. ¿Por ejemplo, cómo calcular la raíz cúbica de 28? Si tienes una calculadora, es fácil. O se puede hacer a mano teniendo en cuenta que $\sqrt[3]{27}=3$. Que $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Entonces $$ f'(x) = \frac {1} {3\sqrt [3] {x ^ 2}} $ y $$ \sqrt[3]{28}=f(27+1)\approx f (27) +1\cdot f'(27) = 3 + \frac {1} {3\sqrt [3] {27 ^ 2}} = 3 + \frac 1:27. $$
En su ejemplo, usted tiene alguna función $f$ que se puede evaluar en $3.0$ y ahora también como para evaluar a $2.9$$3.1$. Es bastante razonable pedir que se debe utilizar el cálculo para hacer esto.
Y hay una muy buena respuesta: esta es precisamente la tarea que cálculo (aka, el trabajo con los diferenciales) se pretende resolver. Si quieres saber cómo $f(x)$ varía como se tweak $x$, el cálculo da una muy potente conjunto de herramientas.
Para ejemplos sencillos, el método que uso funciona bien.
Pero ¿qué sucede cuando un sistema tiene 8 variables, todos los cuales se desea modificar? Cálculo multivariable se encarga de esto.
¿Qué sucede si usted tiene una cadena de operaciones y quieres saber cómo cambiar la entrada de los cambios de la salida de colocar en cada etapa de la cadena? La regla de la cadena dice que una manera más simple de hacer esto.
Lo que si desea una versión simplificada de la fórmula, por lo que usted puede explorar cómo el error en la salida varía a medida que se varía el error de entrada o ver de un vistazo lo que está pasando? El cálculo que hace esta tirando pequeñas términos que no contribuyen mucho a la respuesta.
Pero por simple uno de los ejemplos no hay mucho daño en el uso del método sugerido.
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