¿Cómo resolver la ecuación diferencial siguiente: $(2x^3y^2-y)dx+(2x^2y^3-x)dy=0$?

Question

Me encantaría su ayuda con la solución de la siguiente ecuación diferencial: $$(2x^3y^2-y)dx+(2x^2y^3-x)dy=0.$$

Traté de usar comprobar si esto es una ecuación exacta y encontrar una integración, pero no funcionó. Entonces traté de dividir la ecuación por algún factor y el uso de algún tipo de cesión, tales como $z=\frac{y}{x}$, pero no funcionó para mí.

Alguna sugerencia?

($y$ es una función de $x$)

Aunque Julian respuesta es genial, me pregunto si hay una solución sin una integración depende tanto de x y y.

Muchas gracias!

Answer 1

Buscar un factor integrante de la forma $\mu(x,y)=\mu(x\, y)$. Teniendo en cuenta que $$ \frac{\partial\mu(x\,y)}{\partial y}=x\,\mu'(x\,y)\text{ y }\frac{\partial\mu(x\,y)}{\partial x}=y\,\mu'(x\,y) $$ la ecuación $$ \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\mu\,(2\,x^3y^2-y)\Bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\mu\,(2\,x^2y^3-x)\Bigr) $$ conduce a $$ \frac{\mu'(x\,y)}{\mu(x\,y)}=-\frac{2}{x\,y}. $$ Desde el lado derecho sólo depende de $x\,y$, un factor de integración que existe. Llamar a $t=x\,y$,$\mu'(t)/\mu(t)=-2/t$. Formulario de esta $\mu(t)=1/t^2$. A continuación, $\mu(x,y)=1/(x\,y)^2$ es un factor de integración. Multiplicar la ecuación original por $1/(x\,y)^2$ para obtener $$ \Bigl(2\,x-\frac{1}{x^2y}\Bigr)dx+\Bigl(2\,y\frac{1}{x\,y^2}\Bigr)dy=0. $$ Yo se lo dejo a usted para comprobar que es exacto y resolverlo.

Answer 2

$$(2x^3y^2-y)dx+(2x^2y^3-x)dy=0$$

$$2(x^3y^2dx+x^2y^3dy)-(xdy + ydx)=0$$

$$(x^2y^2)*2(xdx+ydy) = d(xy)$$

$$d(x^2+y^2)=\frac{d(xy)}{(xy)^2}$$

que por integración da

$$x^2+y^2+\frac{1}{xy}=c$$

Algunos resultados:

$xdy+ydx=d(xy)$

$xdx+ydy=\frac{1}{2}d(x^2+y^2)$

Answer 3

$\mu(x,y)=\frac{1}{x^2 y^2}$ es un factor de integración. La solución es $x^2+y^2+ \frac{1}{xy}=c$.

He encontrado el factor de integración mediante el Prelle-Cantante algoritmo.

Escribo $\dot x = x-2x^2 y^3 =f_1 $

$\dot y=2x^3 y^2-y=f_2$

Está claro que $x$ $y$ son Darboux polinomios con cofactor $\Lambda_1=2x y^3-1$$\Lambda_2=2 y x^3-1$. Sin embargo no hay ninguna combinación lineal de $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ que da $0$. Por lo tanto, consideramos que los polinomios de segundo grado. La opción obvia es $J_1=x^2$, $J_2=y^2$, $J_3=xy$ con cofactores $\Lambda_1=2 -4 xy^3$, $\Lambda_2=4x^3 y-2$, $\Lambda_3=2x^3 y- 2 xy^3$ respectivamente. Existe una combinación lineal que da cero, pero se produce el trivial integral de la $1$. Sin embargo, si solucionamos $\sum_i \mu_i \Lambda_i=-( \partial_x f_1+\partial_y f_2) $ encontramos la solución $\mu_1=0$, $\mu_2=0$, $\mu_3=-2$. De acuerdo a la Prelle-Cantante algoritmo de $\prod_i J_i^{\mu_i}$ es un factor de integración. Esto le da a $(xy)^{-2}$.

Yo escribí un artículo sobre este tema, pero lamentablemente no lo es en griego!