¿Por qué funciona el argumento de robar la estrategia del tres en raya?

Question

En la página de Wikipedia para los argumentos de robo de estrategia En la actualidad, hay un ejemplo de este argumento aplicado al tres en raya:

Un argumento de robo de estrategia para el tres en raya es el siguiente: supongamos que el segundo jugador tiene una estrategia ganadora garantizada, que llamaremos S. Podemos convertir S en una estrategia ganadora para el primer jugador. El primer jugador debe hacer su primer movimiento al azar; después debe fingir que es el segundo jugador, "robando" la estrategia S del segundo jugador, y seguir la estrategia S, que por hipótesis resultará en una victoria para él. Si la estrategia S le pide que se mueva en una casilla en la que ya se ha movido, debe elegir de nuevo al azar. Esto no interferirá con la ejecución de S, y esta estrategia es siempre al menos tan buena como S, ya que tener una casilla marcada extra en el tablero nunca es una desventaja en el tres en raya.

Mi confusión es sobre la parte en negrita. Entiendo la segunda parte -si tienes más casillas marcadas, siempre lo harás al menos tan bien como una configuración en la que tengas menos casillas marcadas- pero no entiendo por qué esto no interferirá con la estrategia óptima.

¿Puede alguien explicar por qué el hecho de que te obliguen a hacer un movimiento que ya has hecho no interfiere en una estrategia ganadora?

Gracias.

Answer 1

En resumen, porque - como se destaca en la última frase de su pasaje en negrita - tener piezas extra en el tablero en el Tic-Tac-Toe nunca es malo . No se trata sólo de "tener más casillas" frente a "tener menos casillas"; es que si la posición A es exactamente la posición B con una X en ella, entonces la posición A es siempre al menos tan buena para el jugador X como la posición B.

Supongamos que eres X, el primer jugador, y que estás robando estrategias; y supongamos que te encuentras con un momento en el que la casilla en la que "se supone" que debes hacer tu movimiento -frente a las jugadas dadas por el oponente- ya está ocupada. Entonces, si esa casilla no estuviera ocupada, te estarías moviendo para ocuparla, lo que significa que te estás moviendo a alguna posición $P_0$ donde (por los supuestos) se garantiza una posición ganadora. Pero en cambio, como ya tienes la casilla, estás poniendo tu X en algún lugar al azar en el tablero en su lugar. Entonces que posición es simplemente $P_0$ + X . Por el argumento del párrafo anterior, esto es al menos tan bueno para usted como la posición $P_0$ es; pero como sabíamos (por estrategia) que $P_0$ era una posición ganadora para ti, entonces la nueva posición $P_0$ + X también está ganando.

Answer 2

No va a interferir porque la estrategia le dice que tiene que tener una marca en un espacio y tiene una marca en el espacio. Es esencial que el orden de las marcas no importe, como ocurre en el tres en raya. Por lo tanto, si ya hay una marca allí, has satisfecho la estrategia y puedes marcar en otro lugar al azar.

Para un ejemplo concreto, numere las celdas de la forma habitual. Supongamos que hay un segundo jugador que gana y la reacción a $2$ es $4$ . La reacción de otras células puede ser diferente. Digamos que usted es el primer jugador y marca $4$ y el segundo jugador marca $2$ . La estrategia diría que podríamos pasar este turno y ganar. Como tener una marca extra nunca hace daño y no se nos permite pasar, marcamos en otro lugar. Estamos al menos tan bien como el jugador que respondió $4$ a una apertura de $2$ .