Una pregunta más sobre mapeo de quaternionic matrices en matrices reales

Question

Real de las matrices que se encuentran en la imagen de la inclusión homomorphism $\rho_n: M_n(\mathbb C) \to M_{2n}(\mathbb R)$ son complejas lineal real de las matrices. Es fácil ver que una verdadera matriz es complejo lineal si y sólo si conmuta con $I = \rho_n(iI)$.

En analogía a esto estoy ahora estudiando la quaternionic inclusión $M_n(\mathbb H) \to M_{4n}(\mathbb R)$ mediante la inclusión $\psi_n: M_n(\mathbb H) \to M_{2n}(\mathbb C)$. Si $i,j,k$ denotar la unidad de cuaterniones, a continuación, quiero encontrar matrices $I$ $J$ de manera tal que una verdadera matriz es quaternionic lineal si y sólo si conmuta con $I$$J$.

En $1$ dimensión traté de $I=\rho_{2n} \circ \psi_n (iI)$$J=\rho_{2n} \circ \psi_n (jI)$, pero el problema es que $I^2 \neq -1$$J^2 \neq -1$.

¿Por qué $I=\rho_{2n} \circ \psi_n (iI), J=\rho_{2n} \circ \psi_n (jI)$ no trabajo en el quaternionic caso? Hay un perspicaz geométrica (o de otros) explicación? Para la inclusión de las matrices complejas en las matrices de configuración de $J=\rho_{2n} (iI)$ trabajaba.

Editar una definición de lo $\rho_n$:

definir $\rho_n : M^n(\mathbb C) \to M^{2n}(\mathbb R)$ $A_{ij}\mapsto \begin{array}{cc} a_{ij} & b_{ij} \\ -b_{ij} & a_{ij} \end{array}$ si $A_{ij}=(a_{ij} + i b_{ij})$

y $\color{blue}{\psi_n}: M^n(\mathbb H) \to M^{2n}(\mathbb C)$ $A_{ij}\mapsto \begin{array}{cc} a_{ij} & b_{ij} \\ -\overline{b_{ij}} & \overline{a_{ij}} \end{array}$ si $A_{ij}=(a_{ij} + b_{ij}j)$

Edición 2 (en respuesta a la anwer)

Vamos a $$I = \rho(\color{blue}{\psi(i)})= \rho\left ( \begin{array}{cc} \color{blue}{i} & \color{blue}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{-i} \end{array}\right)$$ $$I = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right )$$

así que

$$I^2 = -1$$

Edición 3

Después de la discusión con Incnis Irme he calculado $J^2=I^2 =-1$$J=\rho_{2}(\psi_1(j))$$I=\rho_{2}(\psi_1(i))$. Estoy confundido que esto parece funcionar. La razón por la que hice esta quetion es el siguiente paso en Tapp la matriz de grupos de estudiantes de pregrado:

En particular,

¿por qué es $I\neq\rho_{2n}(\psi_n(i))$ $J\neq\rho_{2n}(\psi_n(j))$ $n>1$? (para $n=1$, al parecer, funciona como acabo de comprobar).

Answer 1

Primero de todo, si su representación de quaternionic matrices de da $I^2≠−1$, esto indica que se ha cometido un error y necesitan para comprobar que la 4 × 4 real (o 2 × 2 complejo) bloques de utilizar. Puedes consultar esta Wikipedia discusión de ejemplos de trabajo (aunque hay muchas opciones posibles).

En segundo lugar, la analogía entre ℂ y ℍ es deficiente debido a la mala algebraica de diseño. Los números complejos forman un campo, que requiere que todos los elemento para viajar, específicamente $$∀z∈ℂ: i\,z = z\,i\,,$$ que implica dijo conmutación requisito para la matriz de representaciones.

El álgebra de cuaterniones no es una (verdadera) de campo, es sólo un sesgo de campo (una división de álgebra). $i\,z = z\,i$ no es una identidad más, es una ecuación de ℂ (una de dos dimensiones reales subalgebra de ℍ). En consecuencia, los reales (o complejos) la representación de los cuaterniones, o quaternionic matrices, generalmente no conmuta con cualquier de $I, J, K$. Usted tiene que utilizar otro tipo de ecuación de matriz, tales como los que utilizan complejo conjugado transpose (mira de nuevo en el baño.WP enlace para algunos insights).

Answer 2

Ya no tengo el libro citado en OP y no estoy seguro de que para comprender bien la notación que se utiliza, empiezo por la fijación de la notación. Tenemos dos homomorphisms: $$\rho: \mathbb{C} \rightarrow M_2(\mathbb{R}) \qquad \rho(z)=\rho(a+ib)= \left[ \begin{array}{ccccc} a&b \\ -b &a \end{array} \right]$$ y: $$\psi: \mathbb{H} \rightarrow M_2(\mathbb{C}) \qquad \psi(x)=\psi(x_0+\mathbf{i}x_1+ \mathbf{j}x_2+\mathbf{k}x_3)= \left[ \begin{array}{ccccc} x_0+ix_1&x_2 +ix_3 \\ -x_2+ix_3 &x_0-ix_1 \end{array} \right] = X_{(2)}$$ que son homomorphisms entre los anillos, de modo que: $$\rho(wz)=\rho(w)\rho(z) \qquad \psi(xy)=\psi(x)\psi(y)$$ (Tenga en cuenta que en el segundo caso, el orden es importante porque $\mathbb{H}$ es no conmutativa anillo.)

Podemos genaralize $\rho$ como: $$\rho_2: M_2(\mathbb{C}) \rightarrow M_4(\mathbb{R})$$ $$\rho_2(A) = \rho_2 \left( \left[ \begin{array}{ccccc} z_{1,1}&z_{1,2} \\ z_{2,1} &z_{2,2} \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{ccccc} \rho(z_{1,1})&\rho(z_{1,2}) \\ \rho( z_{2,1}) &\rho(z_{2,2}) \end{array} \right]$$ y más general: $$\rho_n: M_n(\mathbb{C}) \rightarrow M_{2n}(\mathbb{R})$$ $$\rho_n(A) = \rho_n \left( \left[ \begin{array}{ccccc} z_{1,1}& \cdots &z_{1,n} \\ \cdots \\ z_{n,1} & \cdots &z_{n,n} \end{array} \right] \right) =\left[ \begin{array}{ccccc} \rho(z_{1,1})&\cdots &\rho(z_{1,n}) \\ \cdots \\ \rho( z_{n,1})&\cdots &\rho(z_{2,n}) \end{array} \right]$$ y de forma análoga podemos hacer para $\psi$ definir $\psi_n$:

Ahora, trabajando en n=1 por simplicidad, tenemos la homomorphisms: $$\rho_2 \circ \psi : \mathbb{H} \rightarrow M_4(\mathbb{R})$$ definido de esta manera: $$\begin{split} \rho_2 \circ \psi(x)=\rho_2(\psi(x))=\rho_2(X_{(2)}) &= \\ = \left[ \begin{array}{ccccc} \rho(x_0+ix_1)&\rho(x_2 +ix_3) \\ \rho( -x_2+ix_3) &\rho(x_0-ix_1) \end{array} \right] &=\\ = \left[ \begin{array}{ccccc} x_0&x_1&x_2 &x_3 \\ -x_1&x_0&-x_3 &x_2 \\ -x_2&x_3&x_0 &-x_1 \\ -x_3&-x_2&x_1 &x_0 \end{array} \right] = X_{(4)} \end{split}$$ tenga en cuenta que las filas de esta matriz son los ordenó cuádruples de los componentes de la quaternionic vector $$\left[ \begin{array}{ccccc} 1x \\ \mathbf{i}x\\ \mathbf{j}x \\ \mathbf{k}x \end{array} \right]$$ por eso adoptamos la utilidad de la notación: $$\rho_2 \circ \psi(x)= \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} 1x \\ \mathbf{i}x\\ \mathbf{j}x \\ \mathbf{k}x \end{array} \right] \right]$$ ahora es fácil ver que $$\rho_2 \circ \psi(\mathbf{i})=I_{(4)}= \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} \mathbf{i} \\ -1\\ -\mathbf{k} \\ \mathbf{j} \end{array} \right] \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} 0&1&0 &0 \\ -1&0&0 &0 \\ 0&0&0 &-1 \\ 0&0&1 &0 \end{array} \right]$$ como en el OP y, de la misma manera, podemos encontrar $J_{(4)}=\rho_2 \circ \psi(\mathbf{j})$$K_{(4)}=\rho_2 \circ \psi(\mathbf{k})$.

Y, más importante, se ve fácilmente que $$\rho_2 \circ \psi(\mathbf{i}x)= \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} 1\mathbf{i}x \\ \mathbf{i}\mathbf{i}x\\ \mathbf{j}\mathbf{i}x \\ \mathbf{k}\mathbf{i}x \end{array} \right] \right]= \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} \mathbf{i}x \\ -x\\ -\mathbf{k}x \\ \mathbf{j}x \end{array} \right] \right]$$ es diferente de $$\mathbf{i} \left(\rho_2 \circ \psi(x)\right)= \mathbf{i} \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} 1x \\ \mathbf{i}x\\ \mathbf{j}x \\ \mathbf{k}x \end{array} \right] \right]= \left[ \left[ \begin{array}{ccccc} \mathbf{i}x \\ -x\\ \mathbf{k}x \\ -\mathbf{j}x \end{array} \right] \right]$$ pero tenemos que: $$\rho_2 \circ \psi(\mathbf{i}x)=\rho_2\left[\psi(\mathbf{i})\psi(x)\right]=\rho_2\left(\psi(\mathbf{i})\right)\rho_2\left(\psi(x)\right)$$ de modo que el diagrama en la OP desplazamientos si tomamos, a la derecha, $I_{(4)}=\rho_2\left(\psi(\mathbf{i})\right)$. Creo que, con un poco de trabajo, podemos extender este razonamiento para el caso de $n>1$.

Espero que esto puede ser una respuesta a la pregunta. No estoy seguro de que en mi entendimiento de la página del libro, pero sospecho que hay un error en las matrices nombrado $\mathcal{I}_4$$\mathcal{J}_4$.