Marginal no bivariante gaussiana - Ito Integral de Gauss

Question

Deje $(W_t)_{0\leq t\leq 1}$ ser un proceso de Wiener definido hasta el momento de $1$ en algunas de probabilidad en el espacio. Considere el vector aleatorio

$$\left(W_{1},\int_0^1 \operatorname{sgn}(W_s) \, dW_s\right)=:(W_1,X_1)$$ donde la integral de la expresión es un Ito integral.

Utilizando las propiedades de las propiedades de la integral de Ito y el P. Levy caracterización de movimiento Browniano, no es difícil mostrar que tanto marginales se $\mathcal{N}(0,1)$.

Además, se afirma que este vector aleatorio no es bivariante de Gauss.

Estoy teniendo problemas para ver este último bit. Mi intento, hasta ahora, es como sigue:

Asumir lo contrario. A continuación, ya que

\begin{align*} \operatorname{E}\left[W_1\int_0^1\operatorname{sgn}(W_s)\,dW_s\right] & = \operatorname{E}\left[\left(\int_0^1 \, dW_s\right)\cdot\left(\int_0^1 \operatorname{sgn}(W_s) \, dW_s \right)\right]\\[6pt] & = \operatorname{E}\left[\int_0^1 \operatorname{sgn}(W_s) \, ds\right] \\[6pt] &=\int_0^1 \operatorname{E} \left[\operatorname{sgn}(W_s)\right] \, ds\\[6pt] &=0, \end{align*} donde usamos el Ito isometría, Fubini-Tonelli, y la simetría de la distribución normal, entonces tendríamos que $W_1$ $X_1$ no están correlacionados por lo tanto independiente de la $\mathcal{N}(0,1)$ variables aleatorias. No estoy seguro de dónde rigurosamente ir de aquí.

Una cosa que es evidente para mí, John Dawkins comentario es que el proceso de $(W_{t},X_{t})_{0\leq t\leq 1}$ no es Gaussiana, ya que $$aW_{t}+X_{t}=\int_{0}^{t}(a+\text{sgn}(W_{s}))dW_{s}$$ y por lo tanto $$\langle{aW+X}\rangle_{t}=\int_{0}^{t}(a+\text{sgn}(W_{s}))^{2}ds,$$ que no es determinista. Desde Gaussiano martingales han determinista cuadrática de la variación, el proceso no es Gaussiana. Así que hay algunos de la colección de veces $t_{1}<\cdots<t_{n}$ de manera tal que el finito-dimensional de distribución no es multivariante de Gauss. Pero, ¿por qué se sigue que la $(W_{1},X_{1})$ no es Gaussiana?

Answer 1

Que $X_{t}$ y $W_{t}$ ser definido como arriba. Apliquemos a Ito con $f(x,y)=xy^{2}$ para obtener la descomposición semimartingale de $f(X_{t},W_{t})=X_{t}W_{t}^{2}$.

\begin{align*} X_{t}W_{t}^{2}&=\int_{0}^{t}W_{s}^{2}\text{sgn}(W_{s})dW_{s}+2\int_{0}^{t}X_{s}W_{s}dW_{s}\\ &+\frac{1}{2}\left[4\int_{0}^{t}W_{s}\underbrace{d\langle{X,W}\rangle_{s}}_{=\text{sgn}(W_{s})ds}+2\int_{0}^{t}X_{s}ds\right]\\ \end{align*} teniendo la expectativa de ambos lados y utilizando la propiedad de martingala, los dos primeros términos tienen cero expectativa, y obtenemos %#% $ #%

Si $$\mathbb{E}[X_{t}W_{t}^{2}]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}(2|W_{s}|+X_{s})ds\right]=2\int_{0}^{t}\mathbb{E}[|W_{s}|]ds \tag{1}$ y $X_{1}$ eran independientes, entonces $W_{1}$. Pero claramente es distinto de cero en $\mathbb{E}[X_{1}W_{1}^{2}]=\mathbb{E}[X_{1}]\mathbb{E}[W_{1}^{2}]=0$ el lado derecho de (1).