La forma cerrada para $(2^1-1)(2^2-1)...(2^k-1)$?

Question

Hay forma cerrada para $\prod_1^{i=k}(2^i-1)$ ?

He encontrado que es el producto de los términos de la siguiente arithmetico-progresión geométrica : $$\{u_1=1,u_{n+1}=2u_n+1\}$$ No he encontrado nada con factoriales, pero puede haber algo.

Para la historia, quiero demostrar que : $$\forall n \in \Bbb N, n\gt 3, \exists m \in \Bbb N, 0 \lt m \lt n$$ como $$\forall k \in \Bbb N, 0 \lt k \lt n^2-m²-2n+1, 2^k \not\equiv 1 \mod (n^2-m^2)$$ y $$2^{n^2-m^2-2n+1} \equiv 1 \mod (n^2-m^2)$$ Por eso traté de hacer el producto.

Answer 1

El (Gauss) $q$-análogo del teorema del binomio expresa el producto de los términos de $(1 - q^i)$ como una suma cuyos términos son (hasta una cierta normalización de los factores) $q$-los coeficientes binomiales.

Las fórmulas se muestran en Gaussiano los coeficientes binomiales en la Wikipedia, por ejemplo.

Answer 2

En términos de conocer notaciones:

Deje $u_{n+1} = 2 \, u_{n} + 1$ donde $u_{0}=1$, por lo que $u_{n} = 2^{n}-1$. El uso de $$(x;q)_{n} = \prod_{k=0}^{n-1} (1 - x \, q^{r})$$ conduce a \begin{align} P_{n} &= \prod_{k=0}^{n-1} \{ u_{k} \} = \prod_{k=1}^{n} \{ 2^{k+1} - 1 \} \\ &= 2^{\binom{n+1}{2}} \, \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2^{k}}\right) \\ &= 2^{\binom{n+1}{2}} \, \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)_{n}. \end{align}