Estoy algo familiarizado con las ideas de control de frontera e interno (fuente) para las EDP (en particular, para las ecuaciones de onda), pero me pregunto si el siguiente tipo de problema está clasificado/estudiado; si es así, ¿cuáles son algunos de los nombres utilizados para describir el problema; y, por último, qué documentos/referencias hay?
Supongamos que $u(t,x)$ es una solución de una ecuación de onda $$ \partial_{tt} u - \nabla \cdot (c^2(x) \nabla u) = 0 \quad (t,x) \in \mathbb R \times \mathbb R^n. $$
Entonces, si elegimos $T>0$ y especificar $u_1$ , $u_2$ (sujeto sólo a algunas condiciones de regularidad), está claro que hay un "control" $(f,g)$ por lo que si establecemos $(u(0),u_t(0)) = (f,g)$ entonces $(u(T),u_t(T)) = (u_1,u_2)$ .
Así que ese problema es trivial, ¿pero qué pasa si ponemos restricciones al control/estado? Por ejemplo, si consideramos sólo los controles de la forma $(0,g)$ con $g$ no negativo y con soporte compacto. O si consideramos sólo los estados tales que $u_1$ desaparece en algún conjunto de medida positiva $\omega$ . (¡o ambos!)
Gracias de antemano por su tiempo y consideración.
(en realidad, la pregunta más general que he formulado más arriba es para ayudar a la pregunta específica de abajo, así que se agradece cualquier consejo pertinente)
Si $u$ tiene datos iniciales $(u(0),u_t(0)) = (0,g(x))$ , donde $g(x) \geq 0$ y se apoya de forma compacta en algún conjunto $\Omega$ ¿hay un momento $T > 0$ y establecer $\omega$ con medida positiva tal que $u(T)\vert_{\omega} \equiv 0$ y $u_t(T)\vert_{\omega} \not\equiv 0$ ? (Espero que la respuesta sea "no", por cierto)
Algunas reflexiones sobre esto son:
Si elegimos $v$ para ser una solución de la misma ecuación de onda con valores iniciales especificados en el tiempo $t = T$ ,
$$ v(T) = \chi_\omega u'(T); \quad v'(T) = \chi_\omega \phi $$ donde $\phi$ es arbitraria. Entonces, a partir de $$\int\int_0^T v(\partial_{tt}u - \nabla\cdot(c^2(x)\nabla u) \,dt\,dx = 0$$ y la integración por partes, $$ \int u(0) v'(0) + u'(T)v(T)\,dx = \int u(T)v'(T) + u'(0)v(0)\,dx, $$ y enchufando nuestras suposiciones: $$ 0 < \int_\omega (u'(T,x))^2\,dx = \int g(x) v(0,x)\,dx, $$ para cada elección de $\phi$ ; es de esperar que esto lleve a una contradicción.
Algunos casos son fáciles: por ejemplo, si $\omega$ está fuera del dominio de influencia de $\Omega$ en el momento $T$ entonces $\int g(x) v(0,x)\,dx$ es bastante claro $0$ y ya está. Pero qué pasa con el caso general.
