Estoy tratando de entender, en términos simples como sea posible:
- Cómo definir la integración de la no-orientable colectores y
- por qué es imposible hacerlo utilizando sólo formas diferenciales.
En particular, he visto algunas de discusión del uso de "densidades" en lugar de $n$-formularios para la integración, pero no estoy muy claro sobre el por qué de las densidades son necesarios. En otras palabras, es realmente imposible definir la integración en nonorientable colectores utilizando los formularios solo?
Por supuesto soy consciente de que cualquier $n$-el formulario debe desaparecer en algún lugar en un nonorientable colector, por lo que no podemos encontrar una forma de volumen, por lo tanto no se puede utilizar la definición estándar de la integración. Creo que la razón por la que estoy no encontrar esta respuesta satisfactoria es que es un poco redundante: no podemos definir la integración con respecto al volumen de las formas porque no hay volumen. Pero ¿por qué debemos definir la integración con respecto a un (global) forma de volumen en el primer lugar? Hay realmente no hay otra forma de hacerlo usando definido localmente formas? El pensamiento de un colector como una colección de cartas locales es común en la geometría, y estoy teniendo problemas para entender por qué este enfoque no funciona en el caso de la integración.
