Dos soluciones para un número.

Question

Me encontré con una pregunta que decía :

Encuentre el valor de

$\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{.^{.^{.^{.^{.}}}}}}}}$

Ahora para empezar he declarado

$y=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{.^{.^{.^{.^{.}}}}}}}}$

Esto implica que

$y=\sqrt2^y$

Resolviendo ahora esta ecuación obtenemos

$y=2,4$

pero entonces cómo puede un solo número tener dos valores. Entonces, ¿en qué me estoy equivocando?

Gracias :)

Answer 1

Lo siento, pero tengo que discrepar de todas las respuestas anteriores, excepto la de @JanEerland. Me parece que la expresión infinita que has escrito sólo puede interpretarse de una manera, como el límite de una sucesión, que debemos demostrar que es convergente. Si hacemos esto, el límite es único.

La secuencia se define recursivamente como sigue: $$\begin{align} a_0&=\sqrt2\\ a_{n+1}&=\sqrt2^{a_n}\quad\text{for }n\ge0\\ L&=\lim_{n\to\infty}a_n \end{align}$$ Se ve fácilmente que $a_n<2$ para todos $n$ y un poco menos fácil que la secuencia sea creciente. Su cálculo da dos valores posibles, pero sólo uno de ellos es $\le2$ y, por tanto, ese uno es el valor, en la medida en que la expresión debe considerarse como un límite.

Answer 2

La paradoja surge cuando supones que existe una solución y en realidad no la hay. Para resolver la paradoja hay que cotejar la solución propuesta con la ecuación original.

Así, si un valor positivo de $x$ satisface $x^{x^{x^...}}=4$ entonces también debe satisfacer $x^4=4$ Por lo tanto $x=\sqrt{2}$ . Si un valor positivo de $x$ satisface $x^{x^{x^...}}=2$ entonces también debe satisfacer $x^2=2$ Por lo tanto $x=\sqrt{2}$ . Es evidente que no ambas pueden ser correctas y que el hecho de no comprobarlo implica que ese caso no tiene solución. Encontramos que, de hecho, poniendo en $x=\sqrt{2}$ da $x^{x^{x^...}}=2$ por lo que concluimos que $x^{x^{x^...}}=4$ no tiene solución.