Demostrar ${a^2+ac-c^2=b^2+bd-d^2}$ $a > b > c > d \implies ab + cd$ no es primo

Question

Deje $a>b>c>d$ ser enteros positivos y supongamos que $${a^2+ac-c^2=b^2+bd-d^2}$$

Demostrar que $ab+cd$ no es primo? No sé si este problema es verdadera.

Me encontré con que este mismo problema también ha sido publicado en AOPS.

Pero no puedo demostrar este problema. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Reescribir como:

$$a^2-b^2+ac-bc=bd-bc+c^2-d^2$$ $$(a-b)(a+b+c)=(c-d)(c+d-b)$$

Desde $a>b>c>d$, cada una de las $a-b, a+b+c, c-d, c+d-b$ es positivo. Por factoring lema, existe $w, x, y, z \in \mathbb{Z}^+$ s.t.

$$a-b=wx, a+b+c=yz, c-d=wy, c+d-b=xz$$

La solución para $a, b, c, d$, obtenemos:

\begin{align} 5a=3wx+2yz-wy-xz \\ 5b=-2wx+2yz-wy-xz \\ 5c=-wx+yz+2wy+2xz \\ 5d=-wx+yz-3wy+2xz \end{align}

Por lo tanto:

\begin{align} & 25(ab+cd) \\ & =(3wx+2yz-wy-xz)(-2wx+2yz-wy-xz) \\ & +(-wx+yz+2wy+2xz)(-wx+yz-3wy+2xz) \\ & =5(z^2-wz-w^2)(x^2+y^2) \end{align}

$$5(ab+cd)=(z^2-wz-w^2)(x^2+y^2)$$

Desde $b>c$,

$$-2wx+2yz-wy-xz=5b>5c=-wx+yz+2wy+2xz$$ $$yz>wx+3wy+3xz$$

En particular, $yz>wx+3wy+3xz>3xz$ implica $y>3x$ $yz>wx+3wy+3xz>3wy$ implica $z>3w$.

Así $$x^2+y^2>x^2+9x^2>5$$ $$z^2-wz-w^2=(z-\frac{w}{2})^2-\frac{5w^2}{4}>(3w-\frac{w}{2})^2-\frac{5w^2}{4}=5w^2 \geq 5$$

Si $ab+cd$ es un número primo, entonces $ab+cd \geq 4(3)+2(1)>5$, $5(ab+cd)=(z^2-wz-w^2)(x^2+y^2)$ implica que el $ab+cd$ divide exactamente a 1 de $z^2-wz-w^2$$x^2+y^2$. Sin embargo, el término no divisible por $ab+cd$ necesariamente debe dividir $5$, y por lo tanto ser $\leq 5$. Dado que tanto $z^2-wz-w^2>5$$x^2+y^2>5$, se obtiene una contradicción.

Por lo tanto, $ab+cd$ no es primo.