Definición de uniforme equicontinuity de una familia de mapeos entre el uniforme de los espacios

Question

De La Wiki

Un conjunto $A$ de continua de funciones entre los dos uniforme de los espacios de $X$ y $Y$ es uniformemente equicontinuous si para cada elemento $W$ de la la uniformidad en el $Y$, el conjunto $\{ (u,v) ∈ X × X: \forall f ∈ A. (f(u),f(v)) ∈ W \}$ is a member of the uniformity on $X$.

1. Me preguntaba si es equivalente a

   Un conjunto $A$ de funciones continuas entre dos uniforme de los espacios de $X$ y $Y$ es uniformemente equicontinuous si para cada elemento $W$ de la la uniformidad en el $Y$, hay un miembro de la $V$ de la uniformidad en $X$ tal que $\forall (u,v) ∈ V, \forall f ∈ A. (f(u),f(v)) ∈ W $.

   Esto es debido a que en el caso especial cuando el uniforme de los espacios métrica de espacios, para una familia $F$ de funciones continuas entre dos métrica espacios:

   La familia $F$ es uniformemente equicontinuous si para cada a $ε > 0$, no existe un $δ > 0$ tal que $d(f(x_1), f(x_2)) < ε$ todos los $f ∈ F$ y todos los $x_1, x_2 ∈ X$ tal que $d(x_1, x_2) < δ$.

   También esto es porque creo que la relación entre equicontinuity y uniforme equicontinuity debe ser similar a la relación entre la continuidad y la continuidad uniforme.

2. ¿La definición requieren el conjunto de funciones continuas? No la definición de sí mismo, cuando sin necesidad de continuidad, implica la continuidad uniforme y por lo tanto la continuidad?

Gracias y saludos!

Answer 1

1. Sí, las dos son equivalentes. Esto se desprende de la cláusula (2) de esta definición de la uniformidad. Deje $U=\{\langle u,v\rangle\in X\times X:\forall f\in A(\langle f(u),f(v)\rangle\in W\}$. Si $U$ pertenece a la uniformidad en $X$, $U$ es miembro de la uniformidad en $X$ tal que para cada $\langle u,v\rangle\in U$, $\langle f(u),f(v)\rangle\in W$. Por el contrario, si hay un miembro de la $V$ de la uniformidad en $X$ tal que para cada $\langle u,v\rangle\in V$, $\langle f(u),f(v)\rangle\in W$, a continuación,$U\supseteq V$, lo $U$ es en la uniformidad en $X$.

2. Sí, uniforme equicontinuity de una familia de funciones implica que las funciones son uniformemente continuas. No es necesario que en la definición para especificar que los miembros de $A$ son continuos, pero no hace ningún daño real.