¿Por qué un espacio dual es un espacio vectorial?

Question

Me preguntaba si alguien podría aclarar por qué o cómo un espacio dual se convierte en un espacio vectorial sobre el campo. Espacios vectoriales de dimensión finita de Paul Halmos afirma:

. . a todo espacio vectorial V hacemos corresponder el espacio dual $V^*$ que consiste en todas las funciones lineales sobre $V$ . . . . 

- p. 21 , notación editada

A continuación, el libro presenta la propiedad definitoria de un funcional lineal y la definición de las operaciones lineales para los funcionales lineales.

Además, para completar, el texto define un funcional lineal como

una función de valor escalar $y$ definido para cada vector $x$ con la propiedad de que (idénticamente en los vectores $x_{1}$ y $x_{2}$ y el escalar $\alpha _{1}$ y $\alpha _{2}$ )

$$y( \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}) =\alpha _{1}\,y\left( x_{1}\right) +\alpha _{2}\,y\left( x_{2}\right)$$

- p. 20

Basándose en estas definiciones, ¿no es $V^*$ compuesto por funciones de valor escalar con la propiedad anterior? No veo ningún vector presente en $V^*$ . Sin embargo, el libro más tarde asume que debemos saber eso y comienza a definir un espacio dual $V^{**}$ de un espacio dual $V^*$ de un espacio vectorial $V$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Vayamos más atrás:

Dejemos que $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$ sea cualquier dos espacios vectoriales sobre el mismo campo $\mathbf{F}$ . Sea $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ sea el conjunto de transformaciones lineales $T\colon \mathbf{V}\to\mathbf{W}$ .

Haremos $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ en un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ . Para ello, necesitamos definir una "suma de transformaciones lineales" y una "multiplicación escalar de elementos de $\mathbf{F}$ por transformaciones lineales" (es decir, nuestros "vectores" serán transformaciones lineales de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ Recordemos que un espacio vectorial no es más que un conjunto con una "suma vectorial" y una "multiplicación escalar" que satisfacen ciertas propiedades, y que llame a los elementos del conjunto "vectores"; no tienen que ser "tuplas" en el sentido habitual).

Así, dadas dos transformaciones lineales $T,U\colon \mathbf{V}\to\mathbf{W}$ necesitamos definir una nueva transformación lineal que se llama "suma de $T$ y $U$ ". Voy a escribir esto como $T\oplus U$ para distinguir la "suma de transformaciones lineales" de la suma de vectores. Como queremos $T\oplus U$ sea una transformación lineal (que es un tipo especial de función) de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ para especificarlo tenemos que decir cuál es el valor de $T\oplus U$ es en cada $\mathbf{v}\in \mathbf{V}$ . Mi definición es: $$(T\oplus U)(\mathbf{v}) = T(\mathbf{v}) + U(\mathbf{v}),$$ donde la suma de la derecha tiene lugar en $\mathbf{W}$ . Esto tiene sentido, porque $T$ y $U$ son ya funciones de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ Así que $T(\mathbf{v})$ y $U(\mathbf{v})$ son vectores en $\mathbf{W}$ que podemos añadir.

Es $T\oplus U$ una transformación lineal de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ ? En primer lugar, es es una función de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{W}$ . Ahora, para comprobar que se trata de una transformación lineal, tenemos que comprobar que para todo $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in\mathbf{V}$ y todos $\alpha\in \mathbf{F}$ tenemos $$(T\oplus U)(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = (T\oplus U)(\mathbf{v}_1)+(T\oplus U)(\mathbf{v}_2)\quad\text{and}\quad (T\oplus U)(\alpha\mathbf{v}_1) = \alpha((T\oplus U)(\mathbf{v}_1)).$$ De hecho, desde $T$ y $U$ son a su vez transformaciones lineales, tenemos: $$\begin{align*} (T\oplus U)(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) &= T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) + U(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) &\text{(by definition of }T\oplus U\text{)}\\ &= T(\mathbf{v}_1)+T(\mathbf{v}_2) + U(\mathbf{v}_1)+U(\mathbf{v}_2) &\text{(by linearity of }T\text{ and }U\text{)}\\ &= T(\mathbf{v}_1)+U(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2)+U(\mathbf{v}_2)\\ &= (T\oplus U)(\mathbf{v}_1) + (T\oplus U)(\mathbf{v}_2) &\text{(by definition of }T\oplus U\text{)}\\ (T\oplus U)(\alpha\mathbf{v}_1) &= T(\alpha\mathbf{v}_1) + U(\alpha\mathbf{v}_1) &\text{(by definition of }T\oplus U\text{)}\\ &= \alpha T(\mathbf{v}_1) + \alpha U(\mathbf{v}_1) &\text{(by linearity of }T\text{ and }U\text{)}\\ &= \alpha(T(\mathbf{v}_1) + U(\mathbf{v}_1))\\ &= \alpha((T\oplus U)(\mathbf{v}_1)) &\text{(by definition of }T\oplus U\text{)} \end{align*}$$ así que $T\oplus U$ es efectivamente un elemento de $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ .

Dejaré que lo verifiques $(S\oplus T)\oplus U = S\oplus (T\oplus U)$ para todos $S,T,U\in\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ (como se trata de una igualdad de funciones, hay que comprobar que tienen el mismo valor en cada $\mathbf{v}\in \mathbf{V}$ ). Que $T\oplus U=U\oplus T$ para todos $T,U\in\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ que si $\mathbf{0}$ es la transformación lineal que envía cada $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$ a $\mathbf{0}\in\mathbf{W}$ entonces $T\oplus\mathbf{0}=T$ para todos $T$ y que dado $T\in\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ y definimos $-T$ para ser la función $(-T)(\mathbf{v}) = -(T(\mathbf{v}))$ entonces $T\oplus (-T) = \mathbf{0}$ .

Ahora definimos una multiplicación escalar, que denotaré por $\odot$ (de nuevo, para evitar confusiones con la multiplicación escalar de $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$ . Dado $T\colon \mathbf{V}\to\mathbf{W}$ y $\alpha\in\mathbf{F}$ , defina $(\alpha\odot T)$ para ser la función $$(\alpha\odot T)(\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{v}).$$ Dejaré que comprueben que esta definición funciona, en el sentido de que $\alpha\odot T$ es una transformación lineal cuando $T$ es una transformación lineal; y que satisface las propiedades necesarias:

• $\alpha\odot(\beta\odot T) = (\alpha\beta)\odot T$ ;
• $1\odot T = T$ ;
• $(\alpha + \beta)\odot T = (\alpha\odot T)\oplus (\beta\odot T)$ ;
• $\alpha\odot(T\oplus U) = (\alpha\odot T)\oplus (\alpha\odot U)$ .

Así que $(\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W}),\oplus,\odot)$ es un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ siempre que $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$ son espacios vectoriales sobre $\mathbf{F}$ .

---

Así que ahora, espacios duales: Obsérvese que $\mathbf{F}$ es siempre un espacio vectorial sobre sí mismo, definiendo la suma de vectores como la suma de $\mathbf{F}$ y que la multiplicación escalar sea la misma que la multiplicación en $\mathbf{F}$ .

Así que si $\mathbf{V}$ es cualquier espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ entonces podemos considerar $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{F})$ Esto tiene sentido, porque ambos $\mathbf{V}$ y $\mathbf{F}$ son espacios vectoriales sobre $\mathbf{F}$ y éste es a su vez un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ con adición de vectores $\oplus$ y la multiplicación escalar $\odot$ como se ha definido anteriormente.

Este espacio vectorial, $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{F})$ se llama el espacio dual de $\mathbf{V}$ . Escribimos $\mathbf{V}^*$ en lugar de $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{F})$ y los elementos de $\mathbf{V}^*$ se llaman "funcionales".

Por abuso de notación, solemos escribir $+$ en lugar de $\oplus$ (al igual que utilizamos el mismo símbolo para la adición de $\mathbf{V}$ y la adición de $\mathbf{W}$ ), y $\cdot$ o simplemente la yuxtaposición en lugar de $\odot$ .

La ecuación que tienes, $$y(\alpha_1 x_1 + \alpha_2x_2) = \alpha_1y(x_1) + \alpha_2y(x_2)$$ sólo te dice que la función $y$ es una transformación lineal de $\mathbf{V}$ a $\mathbf{F}$ .

Es tradicional utilizar letras minúsculas en negrita como $\mathbf{f}$ , $\mathbf{g}$ , $\mathbf{h}$ para representar los funcionales. Esto para recordarnos que aunque sean vectores en el espacio vectorial $\mathbf{V}^*$ son "realmente" funciones (cuando están en casa).

---

De hecho, podrías volver incluso más. Si $\mathbf{W}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ y $X$ es cualquier conjunto, entonces podemos ver $$\mathcal{F}(X,\mathbf{W}) = \{f\colon X\to\mathbf{W}\mid f\text{ is a function}\}.$$ Entonces $\mathcal{F}(X,\mathbf{W})$ es un espacio vectorial, con adición $(f\oplus g)(x) = f(x)+g(x)$ y la multiplicación escalar $(\alpha\odot f)(x) = \alpha f(x)$ . El caso de $\mathcal{L}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ corresponde a mirar un subespacio de $\mathcal{F}(\mathbf{V},\mathbf{W})$ consistente en transformaciones lineales.

Esta es una construcción estándar en el álgebra abstracta. Siempre que $A$ es un álgebra (en el sentido del Álgebra General; un grupo, semigrupo, anillo, espacio vectorial, red, etc), y $X$ es un conjunto, la colección de todas las funciones $f\colon X\to A$ se convierte en un álgebra del mismo tipo bajo "operaciones puntuales". De hecho, esto no es más que una "potencia directa" (un producto directo en el que cada factor es el mismo) indexado por $X$ .