Cuando se comprueba con la calculadora es 1. Pero, ¿cómo demostrarlo? También no es normal, además como $x+ \frac1x$ que necesidades directas de racionalización. Tan sólo necesito algo para continuar.
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user6246
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483
Ya $$(1 - \sqrt{5})^3 = 16 - 8 \sqrt{5}$$ and similarly $$(1 + \sqrt{5})^3 = 16 + 8 \sqrt{5}$$ it follows that $$(2 + \sqrt{5})^{1/3} + (2 - \sqrt{5})^{1/3} = \left(\frac {16+8\sqrt{5}} 8 \right)^{1/3} +\left(\frac {16-8\sqrt{5}} 8 \right)^{1/3} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1.$$
El uso de la fórmula general $x^3+y^3=(x+y)\left((x+y)^2-3xy\right)$.
Aquí $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$$y=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.
Deje $a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ y
$$b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{2^2-(\sqrt{5})^2}=-1$$
$$(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})=4$$
$$=a\left(a^2-3b\right)=a^3+3a$$
$$a^3+3a-4=0$$
Usted puede aplicar Racionales Teorema de la Raíz o de la Prueba, división de polinomios, teorema fundamental del álgebra, etc.
$$(a-1)\left(a^2+a+4\right)=0$$
$a^2+a+4=0$ no tiene soluciones reales, pero claramente $a$ es real, por lo $a=1$.
Hari Shankar
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46
Tenemos $x- \left(2+\sqrt 5 \right)^{\frac{1}{3}} - \left(2-\sqrt 5 \right)^{\frac{1}{3}} = 0$
Por lo $x^3 -(2-\sqrt 5)-(2+\sqrt 5) = 3x \left(2+\sqrt 5 \right)^{\frac{1}{3}}\left(2-\sqrt 5 \right)^{\frac{1}{3}}= -3x$
(invocando $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ al $a+b+c = 0$)
a partir de la cual podemos ver que $x$ es una raíz de $x^3+3x-4 =0$
Puesto que la derivada es positiva, esto significa que tiene sólo una raíz real, que por la inspección es $x=1$
Rohan
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11
Si $x = a+b$,$x^3 = (3ab)x + (a^3+b^3)$. (Por el contrario, si $x^3 - px - q = 0 $, entonces podemos encontrar $a,b$, de tal manera que $3ab = p, a^3+b^3=q$. el uso de Cardano del método para la solución de la ecuación cúbica.)
Dejando $w = e^{\frac {2i \pi}{3}} $ denotar una raíz cúbica de la unidad, observe que los números de $a+b, wa + w^2b$, e $w^2a + wb$ todos cumplen la misma ecuación cúbica, $x^3 = 3abx + (a^3+b^3)$, y, en general, las soluciones de la ecuación $x^3 = 3w^iabx + (a^3+b^3) $ se dan por $x = w^ja + w^{i-j}b$$j=0,1,2$.
Hay, pues, $9$ posibles valores de $(2+\sqrt{5})^{1/3} + (2-\sqrt{5})^{1/3}$, dependiendo de raíces cúbicas de tomar, y que cada uno satisfaga de $3$ ecuaciones cúbicas. Pero sólo uno de estos valores, es decir,$1$, es real, mucho menos racional. Espero que ayude.
Frank
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41
Una forma fácil es para simplificar el anidado radical y, a continuación, combinar los términos semejantes.
Una manera fácil de denest $\sqrt[m]{A+B\sqrt[n]{C}}$ es asumir la forma $a+b\sqrt[n]{C}$ y ampliar ambos lados con el teorema del binomio. $\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ hace$$2+\sqrt5=(a^3+15ab^2)+(3a^2b+5b^3)\sqrt5\tag1$$ A partir de la que se obtiene un sistema de ecuaciones\begin{align*} & a^3+15ab^2=2\tag2\\ & 3a^2b+5b^3=1\tag3\end{align*} Cruz multiplicando, obtenemos$$a^3+15ab^2=6a^2b+10b^3\\a^3-6a^2b+15ab^2-10b^3=0\tag4$$ La división de la última ecuación de $(4)$ $b^3$ y la sustitución de $x=a/b$ da la cúbico$$x^3-6x^2+15x-10=0\implies x=1$$ Por lo tanto, $a=b$ y la contramarcha que de nuevo en el sistema, obtenemos$$a^3+15ab^2=2\implies 16b^3=2\implies a=b=\dfrac 12$$ Por lo tanto, $\sqrt[3]{2+\sqrt5}=\dfrac 12+\dfrac {\sqrt5} 2$ y de manera similar, $\sqrt[3]{2-\sqrt5}=\dfrac 12-\dfrac {\sqrt5}2$.
Por lo tanto, tenemos$$\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}=\dfrac 12+\dfrac 12+\dfrac {\sqrt5}2-\dfrac {\sqrt5}2=\boxed{1}\tag5$$
