Evaluar el límite de $0/0$ formulario

Question

Me dan una ecuación cuádrica tal que $ax^2 + bx +c=0$ cuyas raíces son $\alpha$ y $\beta$ entonces qué valor tendría $$\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{1-\cos( ax^2 + bx +c) }{(x-\alpha)^2}$$ Ahora bien, como $x$ tiende a la raíz de la entrada en $\cos$ por lo que mis límites se convierten en $0/0$ por lo que he aplicado la regla de L'Hospital, por lo que mi límite se convierte en $$\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{\sin( ax^2 + bx +c).2ax +b }{2(x-\alpha)}$$ ahora desde $\alpha$ y $\beta$ son raíces, por lo que mi expresión puede escribirse como $$\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{ (x-\beta ) \sin( (x-\alpha)(x-\beta))(2ax +b)}{2(x-\alpha) (x-\beta ) }$$ ahora se convierte en la forma $\frac{\sin x}{x}$ cuando $x$ se acerca a $0$ así que finalmente llego a $$\lim\limits_{x \to \alpha} \frac{(2ax +b)(x-\beta )}{2}$$ que finalmente se convierte en $$ \frac{(2a\alpha +b)(\alpha-\beta )}{2}$$ Pero mi respuesta no coincide, ¿qué he hecho mal?

Answer 1

El error es

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

Answer 2

O más rápido: $ax^2+bx+c=a(x−α)(x−β)$

1-cos(u) ~ $\frac{u^2}{2}$ cuando u->0

\=> su expresión es equivalente a : $\frac{a^2*(x-α)^2(x-β)^2}{2*(x-α)^2}$ cuando x-> α

Así que el equivalente final es : $\frac{a^2*(x-β)^2}{2}$ que es (espero) la respuesta