Lo siento Tim, acabo de ver este post.
El completado la gráfica de una función de $F$ es simplemente un cerrado conectado subconjunto de $\mathbf{R}^2$ que consiste en el conjunto $\{ (x,F(x)), x \geq 0 \}$, junto con la vertical de los segmentos de línea uniendo los puntos de $(x,F(x-))$ $(x,F(x+))$ siempre $F$ tiene una discontinuidad en $x$. (Tenga en cuenta que desde $F$ es una función de distribución, es monotono, por lo que cualquier discontinuidades son saltos.)
Ahora, volviendo a la discusión original aquí:
¿Cuál es la motivación de Levy-Prokhorov métrica?
Tomar dos funciones de distribución de $F$$G$, y deje $\overline{F}$ $\overline{G}$ representan los respectivos completado gráficos de $F$$G$. A continuación, el Levy-Prokhorov métrica entre las funciones de distribución de hecho puede ser interpretado como un definido de forma adecuada la distancia de Hausdorff entre el $\overline{F}$ amd $\overline{G}$.
La tasa distancia es
$L(F,G) = \inf \{ \epsilon > 0 : F(x-\epsilon) - \epsilon \leq G(x) \leq F(x+\epsilon) + \epsilon, \forall x \in \mathbf{R} \}$.
En palabras, significa esto: Para $(x,y) \in \mathbf{R}^2$, definir un cuadrado de lados $2 \epsilon$ centrada en$(x,y)$$S_\epsilon(x,y)$. A continuación, $\{ S_\epsilon(x,y), \forall (x,y) \in \overline{F} \}$ es el "tubo" trazado por el cuadrado de $S_\epsilon(x,y)$ $(x,y)$ viaja a lo largo del conjunto conectado a $\overline{F}$. Ahora tome el menor $\epsilon$ para que los de arriba "tubo" contiene $\overline{G}$. Esto le da a la Levy-Prokhorov distancia entre el$F$$G$.
Ahora vamos a
$d_C((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := |x_1-x_2| \vee |y_1-y_2|$. Esta es una métrica en $\mathbf{R}^2$ llama la Chebychev métrica. Bajo esta métrica, una $\epsilon$barrio- $N_\epsilon(x,y)$ de el punto de $(x,y)$ es simplemente un cuadrado de lados $2 \epsilon$ centrada en $(x,y)$. Este es el mismo conjunto como $S_\epsilon(x,y)$ definido anteriormente. Deje $h_C(A,B)$ ser la métrica de Hausdorff inducida por $d_C$ en el espacio cerrado de subconjuntos de a $\mathbf{R}^2$. A continuación, el $d_C(\overline{F},\overline{G})$ es el más pequeño de $\epsilon$ para que el $\epsilon$-inflación de $ \overline{F}$ es decir, $ \cup \{ N_\epsilon(x,y), (x,y) \in \overline{F}\}$ contiene $\overline{G}$ y viceversa, es decir,
$\inf \{ \epsilon > 0 : \overline{G} \subseteq \cup\{ N_\epsilon(x,y), (x,y) \in \overline{F}\} \text{ and } \overline{F} \subseteq \cup \{ N_\epsilon(x,y), (x,y) \in \overline{G}\} \}$.
Tomar nota además de que, estrictamente hablando, el Huasdorff métrica es igual a
$\inf \{ \epsilon > 0 : F(x-\epsilon) - \epsilon \leq G(x) \leq F(x+\epsilon) + \epsilon \text{ and } G(x-\epsilon) - \epsilon \leq F(x) \leq G(x+\epsilon) + \epsilon, \forall x \in \mathbf{R} \}$,
pero desde $F$ $G$ son funciones crecientes, $\overline{F}$ $\overline{G}$ son bastante especiales, conjuntos cerrados, y
$\inf \{ \epsilon > 0 : F(x-\epsilon) - \epsilon \leq G(x) \leq F(x+\epsilon) + \epsilon, \forall x \in \mathbf{R} \} = \inf \{ \epsilon > 0 : G(x-\epsilon) - \epsilon \leq F(x) \leq G(x+\epsilon) + \epsilon, \forall x \in \mathbf{R} \}$.
Nota: $\cup\{ N_\epsilon(x,y), (x,y) \in \overline{F}\}$ parecía más limpio que el de $\cup_{(x,y) \in \overline{F}} N_\epsilon(x,y)$.
