La mendicidad, la pregunta en Rudin?

Question

Leí esto en el Teorema 2.35 de Bebé Rudin:

Corolario. En el contexto de la métrica espacios) Si $F$ es cerrado y $K$ es compacto, a continuación, $F \cap K$ es compacto.

Prueba. Debido a que las intersecciones de conjuntos cerrados son cerrados y porque compacto subconjuntos de métrica espacios están cerrados, por lo que es $F \cap K$; desde $F \cap K \subset K$, teorema 2.35 muestra $F \cap K$ es compacto.

Él asume que $F \cap K$ es un subconjunto compacto con el fin de demostrar $F \cap K$ es compacto.

Answer 1

Eso no es lo Rudin, dice. Dice que desde que $\;F\cap K\;$ es cerrado [como una intersección de conjuntos cerrados] y $\;F\cap K\subset K\;$ $\;K\;$ es compacto, entonces es $\;F\cap K\;$ .

Answer 2

Reclamo: Compacto subconjuntos de métrica espacios están cerrados.

Prueba. Supongamos que el conjunto compacto $K$ no está cerrado. Entonces hay un punto límite $x \notin K$ tal que $x_n \in K$ $x_n \to x$ con respecto a la métrica.

Considere la posibilidad de la apertura de la tapa que son anillos alrededor de $x$. Es decir, considerar una secuencia $\{r_n\}_{n=-\infty}^\infty$$r_n < r_{n+1}$. Vamos como bien $r_n \to 0$$n \to -\infty$$r_n \to \infty$$n \to \infty$. Tome $O_n = B_{r_{n+1}}(x)\setminus B_{r_{n-1}}(x)$. Deje que la cubierta está abierta a ser $K \subseteq \cup_{n=-\infty}^\infty O_n$.

Desde $K$ es compacto, existe un número finito de subcover. Pero luego de excluir $O_{m}(x)$ para algunos más pequeño $m$, y, por tanto,$B_{r_{m-1}}(x) \cap K = \emptyset$. Pero esto contradice que $x$ es un punto límite.

Answer 3

Tengo una Segunda Edición (1964) de Rudin en el que la prueba se da de esta manera:

Teoremas $2.26(b)$ $2.34$ muestran que $F\cap K$ está cerrada; desde $F\cap K \subset K$, Teorema $2.35$ muestra que $F\cap K$ es compacto.

Teorema $2.26(b)$ dice que las intersecciones de conjuntos cerrados son cerrados, $2.34$ dice que los subconjuntos compactos de métrica espacios están cerrados, y los $2.35$ que cerró los subconjuntos de conjuntos compactos es compacto.