Es este un uso válido de l'Hospital de la Regla? Puede ser utilizada de forma recursiva?

Question

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} + \frac{1}{x}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2}$$

Desde este evalúa a una forma indeterminada $\frac{0}{0}$ l'Hospital de la Regla:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{2x}$$

Debido a que esto también se evalúa a una forma indeterminada $\frac{2}{0}$ l'Hospital de la Regla de nuevo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{0}{2}=0$$

Sé que yo podría haber simplemente dividir tanto el numerador y el denominador por $x$ para obtener el mismo resultado. Este es sólo un ejemplo para hacer la pregunta: ¿l'Hospital de la Regla de ser utilizada de forma recursiva?

EDIT: lo Siento, arruiné mi ejemplo. No puedo pensar en un buen ejemplo ahora mismo, pero la pregunta sigue en pie. Se puede utilizar la Regla de l'Hospital de forma recursiva?

Answer 1

La Regla de l'Hôpital

Suponiendo que se cumplen las condiciones siguientes:

1. $f(x)$ $g(x)$ debe ser diferenciable
2. $\frac{d}{dx}g(x)\neq 0$
3. $\lim\limits_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{0}{0}\mbox{ or }\lim\limits_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\pm\infty}{\pm\infty}$

A continuación, $$ \lim\limits_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x\to c} \frac{\frac{d}{dx}f(x)}{\frac{d}{dx}g(x)}=L $$ Donde $c$ $L$ es cualquier número real o $\pm\infty$.

Así que para responder a tu pregunta, sí, la regla de L'Hôpital puede ser utilizado en varias ocasiones, siempre que todas las condiciones anteriores se cumplen. Desde su ejemplo no cumple con las condiciones antes mencionadas, la regla de L'Hôpital es no aplicable.

Aquí es un caso donde la regla de L'Hôpital es aplicable en múltiples ocasiones, $$ \lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x^2}=\frac{\infty}{\infty} $$ Dado que las condiciones se cumplen, podemos aplicar la regla de L'Hôpital $$ \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{d}{dx}e^x}{\frac{d}{dx}x^2}= \lim_{x\to \infty} \frac{e^x}{2x}= \frac{\infty}{\infty} $$ Aviso de que se cumplen las condiciones de nuevo, así que ahora $$ \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{d}{dx}e^x}{\frac{d}{dx}2x}= \lim_{x\to \infty} \frac{e^x}{2}= \infty $$ Por lo tanto $$ \lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{x^2}=\infty $$

Answer 2

Usted está en lo correcto hasta el tercer paso, aunque usted puede escribir $\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac2x$, en lugar de tomar LCM.

Sin embargo, en el tercer paso, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2}{2x}$ no es una forma indeterminada (no $\dfrac00$). Por lo tanto, es ilegal , inaplicable para el uso de la Regla de L'Hospital de allí.

Respuesta a 'recursiva' pregunta: no sé a qué te refieres por "recursivamente", pero puede ser utilizado repetatively.

Considere la posibilidad de $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{2x} = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x}{2} = \dfrac12$$ mediante el uso de L'Hospital de la Regla dos veces.

Answer 3

Puede utilizar la regla sólo si usted es el cálculo de $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ $\lim f(x) = \lim g(x) = 0$ o $\lim f(x)=\lim g(x) = \infty$. Las funciones en $\frac2 {2x}$ no satisfacer esta demanda.

Answer 4

$\lim_{x\to 0} \frac{2}{2x}$ no es una forma indeterminada.

Answer 5

Veo lo que hice allí.

Se trató de reclamar que: $\lim_{x\to 0} \dfrac {2}{x} = \lim_{x\to 0} \left(\dfrac {2}{x}\times\dfrac{x}{x}\right)$, y como que era un indeterminant forma se podría aplicar la regla de l'Hospital de.

l'Hôpital sólo funciona si usted no puede eliminar la indeterminación por la cancelación. No funciona si usted introducir la indeterminación a través de la multiplicación.