Jacobiano de un flujo suave en una variedad suave

Question

Se trata de una pregunta sobre la derivada del jacobiano del mapa tangente de un flujo suave. Creo que puede tener una fórmula intrínseca, pero no tengo ni idea de cuál puede ser.

Dejemos que $M$ ser un $n$ -de la región de Riemann (por ejemplo $C^\infty$ , orientable, etc. si nos puede salvar de algún problema), $X:M\to\mathfrak{X}(M)$ sea un campo vectorial suave (digamos que no desaparece en ninguna parte), $\phi_t:M\to M$ sea el flujo inducido por $X$ . Consideremos ahora el mapa tangente $D_x\phi_t:T_xM\to T_{\phi_tx}M$ .

Como cada espacio tangente tiene una estructura de producto interno inducida por la métrica, podemos definir el jacobiano de $\phi_t$ en $x$ como $J(t,x)=\det(D_x\phi_t)$ .

Ahora queremos tomar la derivada con respecto a $t$ : $J_t(t,x)$ . ¿Existe alguna fórmula para esta derivada? De hecho, una fórmula para $J_t(0,x)$ será suficiente.

Podemos elegir un marco local ortonormal alrededor de $x$ y luego escribir $D_x\phi_t$ como una matriz dependiente del tiempo, digamos $A(t,x)=(a_{jk}(t,x))=({\bf a}_1(t,x),\cdots,{\bf a}_n(t,x))$ . Entonces $J(t,x)=\det A(t,x)$ y $\displaystyle J_t(t,x)=\sum_{1\le j\le n}\det({\bf a}_1(t,x),\cdots,{\bf \dot{a}}_i(t,x),\cdots,{\bf a}_n(t,x))$ . Entonces dejando $t\to0$ , obtenemos que ${\bf a}_j(0,x)={\bf e}_j$ (ya que $\phi_0=\text{Id}$ ) y $\displaystyle J_t(0,x)=\sum_{1\le j\le n}\det({\bf e}_1,\cdots,{\bf \dot{a}}_j(0,x),\cdots,{\bf e}_n)=\sum_{1\le j\le n}\dot{a}_{jj}(0,x)$ .

Me parece que debería ser un hecho fundamental en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Pero no sé por dónde empezar. Gracias.

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Un calentamiento: considere $M=\mathbb{R}$ y la ecuación $\dot{x}=f(x)$ . Sea $\phi(t,x)=\phi_t(x)$ sea la solución con la condición inicial $\phi(0,x)=x$ . Entonces $J(t,x)=\partial_x \phi(t,x)$ y $J_t(t,x)=\partial_t\partial_x \phi(t,x)=\partial_x\partial_t\phi(t,x)=\partial_x f(x(t))$ . En particular $J_t(0,x)=f'(x)$ .

Entonces dejemos que $M=\mathbb{R}^2$ y la ecuación $\dot{x}_i=f_i({\bf x})$ . Sea $\vec{\phi}(t,{\bf x})=\vec{\phi}_t({\bf x})$ sea la solución con la condición inicial $\vec{\phi}(0,{\bf x})={\bf x}$ . Entonces $J(t,x)=\partial_1\phi_1\cdot\partial_2\phi_2-\partial_2\phi_1\cdot\partial_1\phi_2$ . Tomando la derivada con respecto a $t$ , $\dot{\phi}_i(t,x)=f_i({\bf x}(t))$ y por lo tanto $J_t(0,x)=\sum_j \partial_jf_j(x)=\mathrm{div}(f_1,f_2)$ .

Así que en general $J_t(0,x)=(\mathrm{div}X)(x)$ .

Answer 1

Siguiendo el primer y tercer encomio anteriores, esta pregunta resulta ser un simple ejercicio de ODE. Sea $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ sea un campo vectorial suave y consideremos la EDO $\dot{x}=F(x)$ ---- $(\ast)$

Para simplificar, suponemos que $F$ está acotado y por tanto existe un flujo suave $\phi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ , $(t,x)\mapsto \phi_t(x)$ . Para cada uno de los fijos $t$ , $\phi_t$ es un difeomorfismo y dejemos que $J(t,x)$ sea el jacobiano de $\phi_t$ en $x$ Es decir, $J(t,x)=\det(D_x\phi_t)$ .

Para encontrar una expresión para $J(t,\cdot)$ primero reescribimos $(\ast)$ como

• $\dot{\phi}(t,x)=F(\phi(t,x))$ .

Entonces, tomando el diferencial de $x$ el lado izquierdo da $D_x(\dot{\phi}(t,x))=\frac{d}{dt}D_x\phi(t,x)$ mientras que el lado derecho da $D_x(F\circ \phi(t,x))=(D_xF)(\phi(t,x))\cdot D_x\phi(t,x)$ . Así obtenemos una ecuación matricial diferencial:

• $\frac{d}{dt}D_x\phi(t,x)=(D_xF)(\phi(t,x))\cdot D_x\phi(t,x)$ .

Utilizando la misma prueba del Teorema de Liouville ( aquí ), calculamos

• $\dot{J}(t,x)=\frac{d}{dt}\det D_x\phi(t,x)=\mathrm{Tr}(D_xF)(\phi(t,x))\cdot J(t,x)=\mathrm{div}F(\phi(t,x))\cdot J(t,x)$ .

Dejar $t=0$ vemos $J(0,x)=1$ desde $\phi_0=Id$ y por lo tanto $\dot{J}(0,x)=\mathrm{div}F(x)$ .

De forma más general, tomando la integración, tenemos $J(t,x)=e^{\int_0^t\mathrm{div}F(\phi(s,x))ds}$ .