Tercer axioma de la prueba

Question

Me siento atrapado demostrando el tercer axioma de la topología. He probado los dos primeros. La intersección no parece obvio para mí, y he pasado algún tiempo tratando de probarlo, pero han corrido la misma suerte, y realmente le agradecería un poco de ayuda.

Demostrar El Teorema 5.11:

Sea X un conjunto no vacío y que haya asignado a cada punto p $\in$ X una clase de $\mathcal A_p$ de subconjuntos de X que cumplen los siguientes axiomas:

[$\mathbf A_1$] $\mathcal A_p$ no está vacío y p pertenece a cada uno de los miembros de $\mathcal A_p$

[$\mathbf A_2$] La intersección de dos miembros de $\mathcal A_p$ pertenece a $\mathcal A_p$

[$\mathbf A_3$] Cada superconjunto de un miembro de $\mathcal A_p$ pertenece a $\mathcal A_p$

[$\mathbf A_4$] Cada uno de los miembros $\mathcal N $$\in$ $\mathcal A_p$ es un superconjunto de un miembro de la $\mathsf G$ $\in$ $\mathcal A_p$ tal que $\mathsf G$ $\in$ $\mathcal A_g$ para todos los g $\in$ $\mathsf G$.

Entonces existe una y sólo una topología $\tau$ en X tal que $\mathcal A_p$ $\tau$- barrio del sistema del punto p $\in$ X.

Mi candidato topología consta de la clase $\mathcal A_p$ de subconjuntos de X que satisface la cuatro axiomas y el conjunto vacío. Si hay otra topología que debo usar, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Deje $B=\{\mathsf{G}\subseteq X:\forall g\in\mathsf{G},\, \mathsf{G}\in\mathcal{A_{g}}\}$. Queremos mostrar que $B$ satisface los axiomas de un topológica de la base, entonces se generará el deseado topolgy $\tau$. De hecho, por cada $p\in X$, $\tau$- barrio de sistema de $p$ es, precisamente, $\mathcal{A_{p}}$ (esto se puede ver mediante la aplicación de $[\mathbf{A_{3}}]$$[\mathbf{A_{4}}]$).

Por $[\mathbf{A_{1}}]$ y $[\mathbf{A_{4}}]$, $B$ cubre $X$. Ahora supongamos $U,V\in B$ ; queremos demostrar que las $U\cap V\in B$. Para cada $p\in U\cap V$, sabemos que $U,V\in\mathcal{A_{p}}$ (por la definición de $\tau$), por lo $U\cap V\in\mathcal{A_{p}}$$[\mathbf{A_{2}}]$. Por lo tanto, $U\cap V\in B$. Por lo tanto, $B$ es topológico, base de la generación de una topología $\tau$ con las propiedades deseadas.

La unicidad, supongamos que $\tau'$ es otra topología en $X$ que tiene la propiedad de que, para cada $p\in X$, $\tau'$- barrio de sistema de $p$$\mathcal{A_{p}}$. Por lo tanto todos los $\mathsf{G}\in B$ está abierto en $\tau'$, lo $\tau\subseteq\tau'$.

Por otro lado, supongamos $\mathcal{N}$ está abierto en $\tau'$. Tenga en cuenta que, para cada $p\in\mathcal{N}$, $\tau'$- barrio de sistema de $p$ contiene $\mathcal{N}$, lo $\mathcal{N}\in\mathcal{A_{p}}$. Por lo tanto, $\mathcal{N}\in B$, lo $\tau'\subseteq\tau$. Por lo tanto, $\tau=\tau'$ y hemos uniquness.

Answer 2

El $\tau$ ha definido que quizás es la opción obvia para que la topología, pero no es realmente el que usted desea. Para ver por qué, necesitamos pensar acerca de la definición de la vecindad de un punto en un espacio topológico.

Definición: Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico y $p\in X$, $N\subseteq X$ es un barrio de $p$ si existe $U\in\tau$ tal que $p\in U$$U\subseteq N$.

Observe que una vecindad de un punto que no pertenecen a la topología de! Por ejemplo, $[0,1]\times[0,1]\subseteq\Bbb R^2$ es un barrio de $(1/2,1/2)$ al $\Bbb R^2$ es dada la topología usual, debido a que $(1/3,2/3)\times(1/3,2/3)\subseteq [0,1]\times[0,1]$ está abierto.

Con esto en mente, usted puede re-examinar los axiomas. Axioma 1 es claro - cada punto pertenece a todos los barrios de la misma, y cada punto en el espacio tiene al menos un barrio (todo el espacio). Axioma 2 dice que la intersección de dos barrios es un barrio - esto es porque si $N_1$, $N_2$ son barrios de $p$, entonces no existe $U_1\subseteq N_1$ $U_2\subseteq N_2$ contiene $p$ cuales son abiertos, y $p\in U_1\cap U_2\subseteq N_1\cap N_2$. Debido a $U_1\cap U_2$ está abierto, $N_1\cap N_2$ es un barrio de $p$. Axioma 3, tiene sentido, porque si $N$ es un barrio de $p$ $U\subseteq N$ es un abierto que contiene a $p$, entonces cualquier superconjunto de a $N$ también contiene $U$.

El último axioma es el que realmente define el abierto de conjuntos: especifica que una vecindad de un punto de $p$ es precisamente un conjunto de $N$ contiene $p$ tal de que no existe $U\subseteq N$ que contiene $p$ y es una vecindad de cada punto. La única establece que son barrios de cada punto que contienen son precisamente los abre. Claramente se abre satisfacer esta propiedad, pero por el contrario, si $U$ es un barrio de todos sus puntos, a continuación, $U = \bigcup_{x\in U} U_x$ donde $U_x\subseteq U$ es un abierto que contiene a $x$ dentro $U$. Como esta es una unión arbitraria se abre, ella misma es abierta.

Vea si usted puede utilizar esta intuición para definir el adecuado $\tau$ y probar los resultados.

Answer 3

Definimos $U$ como un conjunto abierto si para cada una de las $p\in U$ hay $V \in \mathcal A_p$ tal que $V \subset U$. Vamos a considerar dos conjuntos de $U_1$$U_2$. Si $x\in U_1 \cap U_2$ hay $V_1,V_2\in \mathcal A_x$ tal que $V_j \subset U_j$. Simplemente tome $V = V_1\cap V_2$ y tendrás $V \in \mathcal A_x$$V \subset U_1 \cap U_2$. Por lo tanto, $U_1 \cap U_2$ es conjunto abierto.