Sé que la transformada de Fourier es la siguiente:$$\hat{f}(\xi)= \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\mathrm ix\xi)f(x)\mathrm{d}x$$ but I couldent understand why should use complex number $i$ in the integration. Is that means I have a real number function and after fourier transformation I get a complex function? I know that $\hat{f}(\xi)$ stand para la amplitud de cada una de las frecuencias. Pero, ¿cómo entender cuando la amplitud es un número complejo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Usted necesita preguntarse a sí mismo ¿por qué usamos las transformadas de Fourier. Se quiere enviar la señal desde el espacio o el tiempo de dominio a otro dominio, el dominio de la frecuencia. En este dominio, la señal tiene dos "propiedades" de la magnitud y fase. Si queremos obtener sólo la señal del "poder" en una frecuencia específica de reciclaje, que en realidad sólo tiene que tomar el valor absoluto de la transformada de Fourier, que es real. Pero, la transformada de Fourier da como la fase de cada frecuencia. Mientras que la primera (magnitud) es de importancia inmediata, la fase es a veces tan importante. Por ejemplo, para las imágenes, la mayoría de la información está contenida en la fase y NO en la amplitud. También, las respuestas de frecuencia (transformada de fourier) se utilizan en digital y analógica filtros, y la fase juega un papel importante aquí, especialmente para filtros de audio donde una fase lineal se requiere: Esto es lo que permite que un filtro de audio para procesar todas las frecuencias y los de salida sin un retardo diferente para cada frecuencia (que se distorsione el sonido imaginar un filtro que hace que su sonido de bajo de venir un poco antes de su agudos...).
Así que espero convencido de que la fase es importante, así como la magnitud. Y para conseguir estas dos propiedades, necesitamos algo más que sólo números reales, necesitamos algo con la magnitud y la fase. Algo así como un número complejo.
TrialAndError
Puntos
25444
Usted puede utilizar el seno y coseno de Fourier transforma en su lugar, y estos sólo dependen de funciones reales. Esta es la forma de Fourier en un principio trabajó. \begin{align} f & \sim \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\cos(sx)\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\cos(sy)dy \\ & +\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sin(sx)\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\sin(sy)dy. \end{align} La real se transforma son análogos a la real de la transformada de Fourier de la serie de expansiones. De esta forma es complicado debido a que requieren dos separados transforma a reconstruir $f$, así como por el real de la serie de Fourier. Se dio cuenta de que la suma de estos podría ser escrito como $$ \lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-R}^{R}f(y)\cos(s(x-y))ds dy \\ =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\frac{\sin(s(x-y))}{x-y}dy \\ =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\int_{-R}^{R}e^{(x-y)}dy \\ = \lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}e^{isx}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-isy}f(y)dyds $$ Este fue un avanzado porque simplificado la expresión de una transformación de par en lugar de dos. Pero se puede trabajar con el real se transforma. El pecado es transformar $0$ por un extraño función de $f$ y el cos de transformación es $0$ para una función par $f$, que corresponde a la tradicional serie de Fourier.
Srinadh kch
Puntos
1
Sólo recuerde como este, la serie de fourier es una colección de ondas con cada ola que tener un conjunto de amplitud y frecuencia, cuando se añade como por las especificaciones de toda la red crestas y neto de comederos obtener cancelado o se agregan unos a los otros en ese instante de tiempo de irse, la forma deseada sobre el conjunto de la onda resultante
y
En realidad, cuando se expanda la serie de todos los Complejos términos queda cancelada a cabo cada una de la otra, dejando a los Verdaderos términos.
Aquí la frecuencia es en los períodos considerados de el coseno o pecado términos. Y la Amplitud de la onda es en las constantes antes trigonométricas pecado y coseno términos.
Entonces ¿por qué usamos este complejo de representación ?
- Sólo memorizar fácilmente, la expresión es abreviado número complejo notación :)
Para la comprensión de la derivación y la cancelación de los términos complejos, siga este enlace. http://lpsa.swarthmore.edu/Fourier/Series/DerFS.html
