¿Es Lindeberg ' s condición satisfecha cuando las variaciones de la secuencia de v.a. ' s se limita desde arriba y abajo?

Question

Esta pregunta se relaciona con mi pregunta anterior , pero creo que es suficientemente diferente como para justificar una separada.

Supongamos que tengo una secuencia de forma independiente distribuido al azar positivo variables: $X_1\sim A_1,X_2\sim A_2, \ldots, X_n\sim A_n$ donde $A_i$'s tiene el apoyo de más del $[0,\infty)$.

Además, supongamos que, para cada una de las $X_i$ de la varianza $\sigma_{lb}^2<\sigma_i^2<\sigma_{ub}^2$, que es desviaciones de $X_i$'s están delimitadas desde abajo y desde arriba.

¿ Lindeberg la Condición de:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n\int_{\{|x-\mu_i|>\epsilon s_n\}}(x-\mu_i)^2f_i(x)dx=0$$

mantenga en este caso? Aquí $s_n^2=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2$$s_n=\sqrt{s_n^2}$.

Mi intuición me dice que no, por la razón siguiente: supongamos que no se pueden sostener. Eso significa que hay una cierta variable aleatoria $X_i$ en la secuencia de la mayor parte de cuya masa no está centrada en un intervalo alrededor de la media de $[\mu_i-\epsilon s_n,\mu_i+\epsilon s_n]$. Sin embargo, este intervalo se hace más grande a medida que agregamos más variables aleatorias a la secuencia, ya que sus varianzas son acotados desde abajo. Puesto que la varianza de $X_i$ es superior acotado, en algunos $n$, el intervalo de $[\mu_i-\epsilon s_n,\mu_i+\epsilon s_n]$ debe "consumir" la mayoría de $X_i$'s de la misa.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar (o refutar). Un problema puede surgir si el intervalo de $[\mu_i-\epsilon s_n,\mu_i+\epsilon s_n]$ no aumenta suficientemente rápido... No estoy seguro si me necesitan condiciones adicionales en los momentos de orden superior de $A_i$ o no...

Answer 1

No, no. El problema es que algunas familias de variables aleatorias delimitada en $L^1$ no están uniformemente integrable.

Para dar un contraejemplo, suponga que la distribución de $X_n$ $\frac1{2n^2}(\delta_0+\delta_{2n})+(1-\frac1{n^2})\delta_n$ por cada $n\geqslant1$. A continuación,$\mu_n=\mathrm E(X_n)=n$$\sigma_n^2=\text{Var}(X_n)=1$, por lo tanto $s_n^2=n$. El $i$th integral en Lindeberg la condición de rango $n$ es $$ \mathrm E((X_i-\mu_i)^2;|X_i-\mu_i|\geqslant\varepsilon\sqrt{n})=i^2\cdot\mathrm P(|X_i-i|\geqslant\varepsilon\sqrt{n})=[i\geqslant\varepsilon\sqrt{n}], $$ de ahí que la suma de Lindeberg condición del es $\frac1{s_n^2}\sim\frac1n$ multiplicado por el número de índices de $i\leqslant n$ tal que $i\geqslant\varepsilon\sqrt{n}$, lo que equivale a $n$. Es decir, la suma converge a $1$ en lugar de $0$.