Demostrar que $\lim_{n \to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\, \mathrm dx=0$.

Question

Demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\, \mathrm dx=0.$$

Para obtener información completa, esto es para una tarea problema para un análisis real de la clase. Estoy atascado incluso averiguar cómo abordar este problema. La única cosa que viene a la mente es que la derivada de $\arctan(x)$, sin embargo dudo mucho que sea útil.

Answer 1

Observar que $$ 0\leq \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\leq x^n$$ for all $x\in[0,1]$, por lo tanto $$ 0\leq \int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\;dx\leq \int_0^1x^n\;dx=\frac{1}{n+1}$$ para cada una de las $n\geq 1$.

Answer 2

Para cada entero positivo $n$, vamos $$f_n(x) = \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}},\ x\in[0,1].$$ Then for all $n$ and $x$, $$|f_n(x)|=\frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\leqslant x^n\leqslant 1. $$ Se sigue a partir de la convergencia dominada de que $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\,\mathsf dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\,\mathsf dx.$$ Para$x\in(0,1)$, $$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, $$ y por lo tanto $$\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,\mathsf dx =0.$$

Answer 3

carmichael561 la solución es la forma más eficiente para resolver este problema. Aquí es mucho menos eficiente solución.

El uso de la integral de la definición (analíticamente continuación) de la función hipergeométrica de Gauss \begin{equation} {}_{2}\mathrm{F}_{1}(a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int\limits_{0}^{1} t^{a-1} (1-t)^{c-b-1} (1-zt)^{-a} dt \end{equation} para $\mathrm{Re}\,c \gt \mathrm{Re}\,b \gt 0,\,\,|\mathrm{arg}(1-z)| \lt \pi$

Tenemos, mediante la sustitución de $y=x^{n}$ \begin{align} \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{n}}} dx &= \frac{1}{n} \int\limits_{0}^{1} \frac{y^{1/n}}{\sqrt{1+y}} dy \\ &= \frac{\Gamma(1+1/n)\Gamma(1)}{n\Gamma(2+1/n)} \,{}_{2}\mathrm{F}_{1}\left(\frac{1}{2},1+\frac{1}{n};2+\frac{1}{n};-1 \right) \\ \tag{1} &= \frac{1}{n+1} \,{}_{2}\mathrm{F}_{1}\left(\frac{1}{2},1+\frac{1}{n};2+\frac{1}{n};-1 \right) \end{align}

Tomando el límite de la función hipergeométrica y la aplicación de la integral de la definición de los rendimientos de nuevo \begin{align} \lim_{n \to \infty} {}_{2}\mathrm{F}_{1}\left(\frac{1}{2},1+\frac{1}{n};2+\frac{1}{n};-1 \right) &= {}_{2}\mathrm{F}_{1}\left(\frac{1}{2},1;2;-1 \right) \\ &= \frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)\Gamma(1)} \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+t}} dt \\ &= 2(\sqrt{2} - 1) \end{align}

Sustituyendo este resultado en la ecuación 1, tenemos \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{n}}} dx = 0*2(\sqrt{2} - 1) = 0 \end{equation}