Subgrupo de un grupo soluble es soluble

Question

Estoy tratando de mostrar que si $G$ es un grupo soluble con $H$ algún subgrupo entonces $H$ también es soluble. Mi argumento es el siguiente:

Como $G$ es soluble entonces tenemos la serie subnormal:

$\{e\}\triangleleft G_1 \triangleleft..... \triangleleft G_n=G$ .

Si ahora intersecamos $H$ con esta serie obtenemos:

$$\{e\}\triangleleft G_1\cap H \triangleleft G_2\cap H..... \triangleleft G_i\cap H\triangleleft H\cap G_i=H$$

Así que ahora tenemos que demostrar la normalidad y que cada factor es abeliano.

Para ver la normalidad tenemos que demostrar que dado $A,B,H$ subgrupos de $G$ tal que $A\triangleleft B$ tenemos $A\cap H \triangleleft B\cap H$ . Así que toma $g\in A\cap H$ y $h\in B\cap H$ y considerar $hgh^{-1}$ .

Ahora como $h\in B$ y $g\in A$ tenemos $hgh^{-1}\in A$ también como $h\in H$ y $g\in H$ entonces $hgh^{-1}\in H$ y así tenemos que $hgh^{-1}\in A\cap H$ y esto es normal.

Ahora tenemos que demostrar que cada factor es abeliano. Así que tenemos que demostrar que dado $A,B,H$ subgrupos de $G$ tal que $A\triangleleft B$ que tenemos:

Si $B/A$ es abeliano entonces $(B\cap H) / (A \cap H)$ es abeliana. Para ver esto tenemos que demostrar que $(B\cap H) / (A \cap H)$ es un subgrupo de $B/A$ . Así que estoy reclamando eso:

$$(B\cap H) / (A \cap H)\cong A(B\cap H)/A$$

Que es un subgrupo de $B/ A$

Ahora tenemos lo siguiente, que $A\triangleleft B$ y $B\cap H < A$ . Así que aplicamos el segundo teorema del isomorfismo para obtener:

$$A(B\cap H)/A\cong (B\cap H)/ (A\cap H \cap B)=A(B\cap H)/A\cong (B\cap H)/ (A\cap H )$$ como $A\cap B=A$

¿Es esto correcto? Estoy un poco preocupado por la última parte.

Muchas gracias cualquier ayuda

Answer 1

Sugerencia un grupo es soluble si su serie derivada termina en un número finito de pasos.

Si $H<G$ entonces cuál es la relación entre los subgrupos conmutadores de $H$ y $G$ ?

Answer 2

Creo que todo lo que tienes es bueno hasta la parte abeliana. Para eso usaría el primer teorema del isomorfismo para demostrar que $(B\cap H)/(A \cap H)$ inyecta en $B/A$ .

Dejemos que $\pi:B\rightarrow B/A$ sea el homomorfismo canónico y consideremos la restricción $\pi'=\pi\left|_{B\cap H}\right.$ Desde $A\cap H\leqslant A$ tenemos que $A\cap H\leqslant \text{ker}(\pi')$ y a la inversa, si $x\in \ker(\pi')$ entonces $x\in A$ así que $x\in A\cap H$ . Así, $(B\cap H)/(A \cap H)$ inyecta en $B/A$ Así que $(B\cap H)/(A \cap H)$ es abeliana.