Encontrar $f''(x)$ si $f\circ f'(x) = 4x^2 + 3$

Question

Me puede decir la solución de esta pregunta?

Si: $f\circ f'(x)=4 x^2 +3$

entonces, ¿qué es $f''(x)$?

Esta fue una pregunta en el examen de matemáticas que tomé ayer.

Una función que satisface la ecuación anterior es $f(x)=x^2+3$, por lo que $f'(x)=2x$ y, por tanto,$f''(x)=2$.

También podemos ver que $f'(x)$ es monótona en $[0,+\infty)$, y en $(-\infty,0]$.

¿Qué otras soluciones analíticas $f(x)$ existen ? Podemos expresar todas las soluciones analíticas de $f(x)$, con un par de parámetros ?

Answer 1

vamos a mostrar que la única solución suave para el problema de $f(f'(x)) = 4x^2 + 3$ $f(x) = x^2 + 3.$

la función derivable $f$ está definido por $$f(f^\prime(x)) = 4x^2 + 3.\tag 1$$ la diferenciación $(1)$ da $$[f^\prime(f^\prime(x)) ] * f^{\prime \prime}(x)= 8x \tag 2$$ la diferenciación $(2)$ da $$[f^\prime(f^\prime(x))]*f^{\prime \prime \prime}(x) + \left( f^{\prime \prime} (x)\right)^2 f^{\prime \prime}(f^\prime(x))= 8 \etiqueta 3$$ nos damos cuenta de que el rango de $f$ está contenido en $[3, \infty)$ y $3$ está en el rango de $f$ porque poniendo $x = 0$ $(1)$ da $$f(f^\prime(0)) = 3, \ \ f^\prime(f^\prime(0)) = 0\tag 4$$ la segunda igualdad de la siguiente manera, si reconocemos que la $3$ es un mínimo global de $f.$

poner a $x=0$ $(3)$ y haciendo uso de las $(4)$ muestra que $f^{\prime \prime}(0) \neq 0.$ más es cierto. de hecho, vamos a mostrar que $$f^{\prime \prime}(x) \neq 0 \tag 5$$

supongamos que hay un $a$ tal que $f^{\prime \prime}(a) = 0.$ poner $x = a$ $(2)$ muestra $a = 0.$, pero que ya demostró que $f^{\prime \prime}(0) \neq 0$, y que establece $(5).$ podemos mejorar la $(5)$ y mostrará que $$f^{\prime \prime}(0) = 2,\ \ f^{\prime \prime}(x) > 0 \text { for all } x. \tag {5b}$$ de esta manera se sigue simplemente por poner $x = 0$ $(3)$

vamos a demostrar que el único local del extremo del gráfico es $(0, 3)$

supongamos $x=a$ es un extremo local. entonces por $(1)$ tenemos $a = \pm \sqrt{f(0) - 3}$. si estos son distintos, entonces por rolle thorem, habrá un punto de $c$ entre ellos en que $f^{\prime \prime}(c) = 0$ contradiciendo $(5b).$ esto nos dice que $$f(0) = 3, f^\prime (0) = 0, f^{\prime \prime }(0) = 2, xf^\prime(x) > 0 \text{ for } x \neq 0, f^{\prime \prime}(x) > 0 \text{ for all } x. \tag 6$$

la diferenciación $(3)$ tenemos

$$[f^\prime(f^\prime (x)]*f^{(4)}(x) + f^{(3)}(x) f^{(2)}(f^\prime(x))f^{(2)}(x) + 2f^{(3)}(x) f^{(2)}(x)f^{(2)}(f^\prime(x) + f^{3}(f^\prime(x))(f^{(2)}(x))^3 = 0 \etiqueta de 7$$

observar que en ambos $(3)$ $(7)$ el más alto orden de la derivada es multiplicado por $[f^\prime(f^\prime(x))]$ que es cero en $x = 0$ se puede observar que esta persiste para todos los pedidos.

ahora poner a $x = 0$ $(7)$ y haciendo uso de las $(6)$ nos da $4f^{(3)}(0) + 8 f^{(3)}(0) + 8f^{(3)}(0) = 0$ , lo que implica que $$f^{(3)}(0) = 0$$

continuando de esta manera creo que puedo mostrar que $$f^{(n)}(0) = 0 \text{ for } n = 3, 4, 5, \cdots \tag 8$$ pero puede ser más fácil para ampliar $$f(x) = 3 + x^2 + 2a_4x^4 + 2a_5x^5 + \cdots$$

$$f^\prime(x) = 2x\left(1 + + 4a_4x^2 + 5a_5x^3 + \cdots \right)$$

poniendo estos en $(1)$ tenemos

$$3 + 4x^2 = 3 + 4x^2 \left( 1 + 4a_4x^2 + 5a_5x^3 + \cdots \right)^2 + 2a_4(2x)^4 \left( 1 + 4a_4x^2 + 5a_5x^3 + \cdots \right)^4 + 5a_5 (2x)^5 \left( 1 + 4a_4x^2 + 5a_5x^3 + \cdots \right)^5+ \cdots$$

equiparar el coeficiente de $x^4$ da $a_4 = 0.$ ahora quite $a_4$ y el espectáculo $a_5 = 0$ y por inducción debemos ser capaces de mostrar a $(8)$.

p.s. gracias a la cooperativa para la publicación de este problema.

la prueba en las últimas etapas puede ser simplificado mediante la siguiente afirmación.

reclamo: si $f(x) = 3 + x^2 + 2ax^k, k \ge 3,$ $a = 0.$

prueba:

$\begin{align} 3 + 4x^2 &= f(f^\prime (x)) = f(2x(1 + akx^{k-2})) \\ &= 3 + 4x^2(1 +kax^{k-2})^2 + 2a*(2x)^k(1 + kax^{k-2})^k\\ &= 3 + 4x^2 + 8akx^k + 4k^2 a^2 x^{2k-2} + 2^{k+1}ax^k + \cdots \\ &= 3 + 4x^2 + a(8k + 2^{k+1})x^k + \cdots \end{align}$

lo que implica $a = 0.$ esto podría ser utilizado para cortar de tajo la prueba de $(8).$

Answer 2

Creo que tengo una (incompleta y no riguroso) heurística que sugiere que $f(x)=x^2+3$ es la única respuesta. Acaso alguien se puede convertir esto en una adecuada/riguroso respuesta.

Comienza con la suposición de que $f$ es analítica:

$$f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i,$$ así que $$f'(x)=\sum_{i=0}^\infty ia_ix^{i-1}.$$

Si se escribe una expresión para $f(f'(x))$ obtenemos algo como $$\begin{align} f(f'(x))&=a_0+a_1(a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots) \\&\phantom{=}+a_2(a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots)^2 \\&\phantom{=}+a_3(a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots)^3+\cdots \end{align}$$

Si podemos discutir en este momento (este es el gran agujero!) que todos los de la $a_n=0$ $n\geq 3$ básicamente estamos allí. Si esto es cierto, tenemos que $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$. Tan solo conectando vemos que $a_2\neq 0$ e si $a_2\neq 0$$a_1=0$.

Tapamos $f(x)=a_0+a_2x^2$ en la relación y nos quedamos con $a_0=3$$a_2^3=1\Rightarrow a_2=1$.

Answer 3

Tenga en cuenta que la función definida por

• $f(x)=3+x^2$ si $x\le 0$
• $f(x)=3-x^2$ si $x\ge 0$

también es continua, y $f(f'(x))=3+4x^2$ también. Pero, a continuación,

• $f''(x)=2$ si $x<0$
• $f''(x)=-2$ si $x>0$
• $f''$ no está definida para $x=0$

Answer 4

Junto con las 2 respuestas ya dadas aquí , la integridad añado este enlace correspondiente

Puede $f(g(x))$ ser un polinomio?

Que debe hacer de todo, claro.