¿Por qué es estrictamente monótona de asignación entre los intervalos de continuo?

Question

Considere el siguiente problema:

Dicen $a,b\in\mathbb R$, $a <b$ y $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R $ estrictamente monótona, digamos que el aumento para el bien de la simplicidad. Deje $f ([a,b])=[c,d]$ algunos $c,d\in\mathbb R$. Mostrar que $f$ es continua.

Esta pregunta es parte de una antigua examen introductorio de análisis real. Intuitivamente, entiendo que una discontinuidad en $f$ implicaría un "incumplimiento" en el intervalo de la imagen. Estoy teniendo problemas con una rigurosa prueba, sin embargo.

Editar: Uno de los comentarios en esta pregunta sugiere una prueba que implica límites superior e inferior. Como no estoy muy cómodo con esos, me preguntaba si hay una (simple) prueba de que se abstenga de su uso.

Answer 1

Prueba directa. Supongamos que la función de $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es el aumento, con $f([a,b])=[c,d]$. Pick $x$ y deje $S$ ser cualquier la secuencia que converge a $x$. Esto es suficiente para mostrar que el imagen de $S$ converge a $f(x)$.

Deje $N_1 \supseteq N_2 \supseteq N_3 \supseteq \cdots $ ser un estrictamente secuencia anidada de abrir los intervalos alrededor de $f(x)$ y, además, suponga que la longitud de los intervalos converge a 0.

1. Tenga en cuenta que la inversa de imágenes están anidados, demasiado: $f^{-1}(N_i) \supseteq f^{-1}(N_{i+1})$. (Piense acerca de cómo los extremos de los intervalos anidados $N_i$ $<$ relacionados unos con otros.)

2. Aquí está la parte más inteligente. Debido a $f([a,b]) = [c,d]$, debe de cumplir que cada inversa imagen $f^{-1}(N_i)$ contiene un intervalo abierto $M_i$ alrededor $x$.

   De hecho, de la contradicción, vamos a $N_i = (p,q)$ ser un intervalo alrededor de $f(x)$ cuya inversa de la imagen no contiene ningún intervalo abierto. A continuación, el monotonía de $f$, por tanto, implica que $$\begin{cases}f(y) < p & \forall y < x\\ q < f(y) & \forall y > x \end{casos}.$$ Esto contradice nuestra suposición de que $f([a,b])$ es un intervalo completo, ya que $f^{-1}([p,q]) = \{x\}$. In other words, we would arrive at a contradiction that $f([a,b])$ has at least one gap in it, something like $[c\cdots p)\cdots f(x)\cdots (q\cdots d]$.

3. Debido a que la secuencia de $S$ converge a $x$, y el $M_i$ contienen abrir los intervalos alrededor de $x$, para cada intervalo de abrir $M_i$, el la cola de la secuencia de $S$ eventualmente se encuentra en su totalidad dentro de $M_i$.

4. Por lo tanto la imagen de la secuencia de $S$ eventualmente se encuentra en su totalidad dentro de cada una de las $N_i$.

5. Pero asumimos que las longitudes de las $|N_i|$ converge a cero; por lo tanto la imagen de la secuencia de $S$ converge a $f(x)$.

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La prueba por contradicción. Vamos a suponer que el aumento de la función $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$, $f([a,b])=[c,d]$, es discontinuo y llegar a una contradicción.

Si $f$ es discontinua en algún punto de $p\in[a,b]$, esto significa que el límite y el valor de la función son diferentes en $p$, el límite no existe en absoluto. Pero el límite y el valor de la función no puede ser diferente, ya que contradice el hecho de que $f$ es monótono.

Por qué? Suponer sin pérdida de generalidad que el valor de la función es mayor que el valor límite. Mida la distancia entre el valor de la función $q\equiv f(p)$ y el valor límite de $q^\prime = \lim_{x\rightarrow p}f(x)$; en cuanto a la seguridad, vamos a $\epsilon$ ser un cuarto de la distancia. Por definición de límite, hay un barrio en torno a $p$ cuyos puntos de mapa dentro de $\epsilon$ distancia del límite de $q^\prime$. En particular, hay puntos de $p_1 < p < p_2$ que hacerlo— $f(p_1)$ $f(p_2)$ están dentro de $\epsilon$ distancia de $q^\prime$. Esto significa que $q^\prime - \epsilon < f(p_1)$, $f(p_2) < q^\prime + \epsilon$. Debido a $f$ es creciente, entonces nos debe más generalmente tienen

$$q^\prime - \epsilon < f(x) < q^\prime + \epsilon$$

para cada $x\in [p_1, p_2]$. Pero $p$ sí infringe esta regla. Recuerde que $f(p) = q^\prime + 4\epsilon$. Por lo tanto nos encontramos con

$$q^\prime - \epsilon < f(p) = q^\prime + 4\epsilon \not< q^\prime + \epsilon.$$

Esto es una contradicción, porque $p < p_2$ pero $f(p) > f(p_2)$. (Si es que se había asumido el otro caso donde el valor de la función fue menor que el valor límite, nosotros en cambio hemos recibido una contradicción de $p_1 < p$ pero $f(p_1) > f(p)$.)

Así que el límite no existe en absoluto. Deje $(a_n)$ ser estrictamente creciente secuencia $a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ cuyo límite es $p$. Deje $b_1 > b_2 > b_3 > \ldots$ ser estrictamente una disminución de la secuencia cuyo límite también es $p$. (Lo $a_i$ enfoques $p$ desde abajo, y $b_i$ enfoques $p$ desde arriba.)

Por monotonía, $f(a_1) \leq f(a_2) \leq f(a_3) \leq \cdots$, y también se $f(b_1) \geq f(b_2) \geq f(b_3) \geq \cdots$. Podemos considerar el límite de $A$ $B$ de estas secuencias.

En primer lugar, tenga en cuenta que los límites de $A$ $B$ debe existir debido a que las secuencias son monótonas y sus valores son todos delimitada entre el$f(a_1)$$f(b_1)$. La próxima nota de que desde $f(a_i) \leq f(b_j)$ todos los $i$$j$, los valores límite que se debe tener $A \leq B$. Por último, tenga en cuenta que podemos excluir el caso $A = B$, porque si $A=B$ $f$ es continua en a $p$, violando nuestra definición de $p$. Por lo tanto $A$ es estrictamente menor que $B$.

Por la monotonía de nuevo,

$$\begin{cases} f(x) \leq A & x < p\\ f(x) \geq B & x > p. \end{casos}$$

Esto implica que no hay valores de $f(x)$ en el intervalo de $[A,B]$. Eso es una contradicción, ya que espera que la imagen del dominio $[a,b]$ a ser el intervalo completo $[c,d]$, no sólo un subconjunto $[c, A) \cup (B,d]$.

Answer 2

Así, usted puede tener una discontinuidad, una de dos formas: o bien el límite de la función en el punto no existe (un "esencial" discontinuidad) o el límite no existe, pero no es igual que el valor de la función en ese punto ("removable" discontinuidad). Para una función monótonamente creciente, usted debería ser capaz de demostrar que no puede haber una discontinuidad removible. Luego, después de haber hecho esto, supongamos que hay una discontinuidad esencial, y considerar el mayor límite inferior $\lambda$ $f$ a la derecha del punto de discontinuidad, y la menor cota superior de a $\Lambda$ $f$ a la izquierda de la misma, y demostrar que debe haber una desigualdad estricta $\lambda < \Lambda$. (Observe que cada uno de estos grupos será limitada, por lo $\Lambda$ $\lambda$ están bien definidas, debido a que $f$ en cualquier punto a la izquierda de la discontinuidad inferior límites de $f$ en todos los puntos a la derecha de la misma, etc.) Esto significa que el intervalo de $(\lambda, \Lambda)$ no puede ser incluido en el rango de la función, aunque puntos por encima y por debajo de este intervalo.

Answer 3

Ya que todo el mundo parece estar utilizando el límite de la definición de continuidad y que se me había enseñado el $\varepsilon$-$\delta$ definición, me gustaría dar una prueba de usar que. Es una prueba directa, pero el análisis de casos con la frontera de los casos es un poco feo. Tal vez que se puede quitar de alguna manera? De todos modos:

Primero vamos a comprobar que $f$ es un bijection: en el hecho de que $f([a,b])=[c,d]$ se sigue que $f$ es surjective, y el hecho de que $f$ es estrictamente monótona, se deduce que el $f$ es inyectiva (desde cualquiera de los dos originales de la cartografía para el mismo valor estaría en contradicción con la monotonía estricta). Por lo $f$ es un bijection entre el$[a,b]$$[c,d]$.

Ahora para $f : [a,b] \rightarrow [c,d]$ a ser continua, tenemos que tener $$ \forall \varepsilon > 0 : \exists \delta > 0 : \forall y \in (x-\delta,x+\delta) \cap [a,b] : |f(y) - f(x)| < \varepsilon $$ para todos los $x \in [a,b]$. Por lo tanto, vamos un $x \in [a,b]$ e una $\varepsilon > 0$ ser dado.

Primero, suponga que $x \in (a,b)$. A continuación, los intervalos de $(f(x) - \varepsilon, f(x)) \cap [c,d]$ $(f(x), f(x) + \varepsilon) \cap [c,d]$ son no vacías, porque desde $x \in (a,b)$, hay puntos menos y mayor que $x$$[a,b]$, y por el estricto monotonía puntos menos y mayor que $f(x)$$[c,d]$. Así que tome algo de $p' \in (f(x) - \varepsilon, f(x)) \cap [c,d]$$q' \in (f(x), f(x) + \varepsilon) \cap [c,d]$. Desde $f$ es bijective, no son exclusivos de $p,q \in [a,b]$$f(p) = p'$$f(q) = q'$, y por otra parte tenemos a $p < x < q$. Ahora vamos a $\delta := \min\{x-p, q-x\}$. Cualquier punto en $y \in (x-\delta,x+\delta) \cap [a,b] = (x-\delta,x+\delta)$ se encuentra en $(p,q)$, lo $f(y)$ se encuentra en $(p',q') \subset (f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon)$ por estricto de la monotonía. Esto significa que $|f(y)-f(x)| < \varepsilon$.

La elección de los puntos en este primer caso se ilustra en la imagen siguiente: (aquí se $\delta = x - p$)

Segundo, asumir que $x = a$ (en el caso de $x = b$ es análogo). A continuación, desde la estricta monotonía, $f(x) = c$, y desde $d > c$, hay algunos $q' \in (c, c+\varepsilon) \cap [c,d]$. Por el bijectivity de $f$, no hay una única $q \in [a,b]$$f(q) = q'$, y tenemos $a < q$. Deje $\delta := q-x$; entonces para cualquier punto de $y \in (x-\delta,x+\delta)\cap[a,b] = [x,x+\delta) = [x,q)$ (debido a $x = a$), tenemos $f(y) \in [c,q') = [f(x),q') \subset [f(x),c+\varepsilon)$ por estricto de la monotonía. De nuevo, esto significa que $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$.

Ya que en todos los casos se ha $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$, llegamos a la conclusión de que $f$ es continua. $\qquad\Box$

Answer 4

Por contradicción, supongamos que hay un punto de $x_0 \in [a,b]$ tal que $f$ es discontinua en a $x_0$, lo que significa $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell^+, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell^-, \quad \ell^+ \neq \ell^- $$ Desde $f$ va en aumento, debemos tener $\ell^- < \ell^+$. (Aviso $f(x_0)$ $\ell^-$, $\ell^+$ o estrictamente incluyen dentro de estos dos valores). Pero entonces existe un $\varepsilon > 0$ tal que $\ell \doteq \ell^- + \varepsilon < \ell^+$$\ell \neq f(x_0)$. Desde $\ell^- \in [c,d]$$\ell^+ \in [c,d]$, $[\ell^-,\ell^+] \subset [c,d]$ y, por tanto,$\ell \in [c,d]$. Pero $[c,d] = f([a,b])$, lo que significa que no debe ser un $y \in [a,b]$ tal que $f(y) = \ell$. Sin embargo, debido a la estrictamente creciente de la naturaleza de la $f$ vemos que $$\forall x < x_0 \quad f(x) < \ell^-$$ y $$\forall x > x_0 \quad f(x) > \ell^+$$ significado $y$ no puede ser tal que $y < x_0$ o $y > x_0$. A continuación, $y$ debe ser exactamente $x_0$. Pero esto es absurdo, ya que $f(x_0) \neq f(y)$.

Answer 5

tan solo una sugerencia

$f $ es el aumento en $[a,b] \implies $

$$\forall e\in [ a,b) \;L^+=\lim_{x\to e^+}f (x) $$ existe.

suponga $L^+=\inf_{e <x\le b}\{f (x)\}>f (e) $. a continuación, tome $\alpha\in]f (e ),L^+[$

supongamos que $\alpha=f (\beta) $

entonces $\beta\in [a,e] $ si no vamos a tener $f (\beta)\ge L^+$.

por lo tanto $f (\beta)\le f (e)$ desde $f $ es estrictamente creciente. esta es la contradicción.