¿Por qué las derivadas de Wirtinger se comportan como operadores de derivadas parciales reales?

Question

A pesar de que no son operadores de derivadas parciales, las derivadas de Wirtinger obedecen a cosas como la regla de la cadena. Por supuesto que puedo demostrar estas cosas manipulando fórmulas, pero esto no da ninguna intuición de lo que realmente está pasando. ¿Hay alguna razón profunda por la que todo parece funcionar con estas cosas?

Answer 1

No estoy seguro de que cuente como una razón "profunda", pero las derivadas de Wirtinger se definen como la base dual a la base $\{dz,\, d\overline{z}\}$ o, en dimensiones superiores, a $\{ dz_i,\, d\overline{z}_i : 1 \leqslant i \leqslant n\}$ del espacio cotangente real complejizado $T_{z}^\ast(U)\otimes \mathbb{C}$ .

Ahora, si tenemos una base $\{\omega_i\}$ del espacio cotangente de una colecta $M$ alrededor de un punto $p\in M$ con un gráfico de coordenadas $x = (x_1,\dotsc, x_m)$ y la correspondiente base dual $\{\delta^i\}$ del espacio tangente (todos varían suavemente con el punto base), tenemos

$$df = \sum_{j} \frac{\partial f}{\partial x_j}\cdot dx_j = \sum_i \delta^i(f)\cdot \omega_i$$

para funciones suaves $f\colon M \to \mathbb{C}$ . Si tenemos otro colector $N$ , $q\in N$ y una función suave $g \colon N\to M$ con $g(q) = p$ y alrededor de $y$ un gráfico de coordenadas $y = (y_1,\dotsc,y_n)$ , una base $\{\alpha_k\}$ del espacio cotangente, y la base dual $\{\varepsilon^k\}$ del espacio tangente, tenemos para el retroceso por $g$ por un lado

$$g^\ast(df) = d(g^\ast f) = d(f\circ g) = \sum_k \varepsilon^k(f\circ g)\cdot \alpha_k,$$

y por otro lado, utilizando la representación de $df$ en la base $\{\omega_i\}$ ,

$$g^\ast(df) = g^\ast\left(\sum_i \delta^i(f)\cdot\omega_i \right) = \sum_i g^\ast(\delta^i(f))\cdot g^\ast(\omega_i) = \sum_i \delta^i(f)\circ g \cdot g^\ast(\omega_i).$$

En general, no tenemos una fórmula bonita para el $g^\ast(\omega_i)$ debemos utilizar los coeficientes de la $\omega_i$ con respecto a la base $dx_j$ (o algún otro) para calcular $g^\ast(\omega_i)$ . Pero cuando el $\omega_i$ tienen la bonita propiedad de ser las diferenciales de funciones reales, como es el caso de $dz_r$ y $d\overline{z}_r$ , digamos que $\omega_i = d\zeta_i$ entonces tenemos la bonita fórmula de retroceso para el $g^\ast(\omega_i)$ :

$$g^\ast(\omega_i) = g^\ast(d\zeta_i) = d(\zeta_i\circ g) = \sum_k \varepsilon^k(\zeta_i\circ g)\cdot \alpha_k,$$

y por lo tanto

$$\begin{align} g^\ast(df) &= \sum_i \delta^i(f)\circ g\cdot g^\ast(d\zeta_i)\\ &= \sum_i \left(\delta^i(f)\circ g \cdot \sum_k \varepsilon^k(\zeta_i\circ g)\cdot \alpha_k\right)\\ &= \sum_k \left(\sum_i \delta^i(f)\circ g\cdot \varepsilon^k(\zeta_i\circ g)\right)\alpha_k \end{align}$$

que produce la regla de la cadena

$$\varepsilon^k(f\circ g) = \sum_i \delta^i(f)\circ g \cdot \varepsilon^k(\zeta_i\circ g).$$

Ahora, cuando tenemos $\omega_i = d\zeta_i$ es habitual denotar la base dual por $\dfrac{\partial}{\partial \zeta_i}$ en lugar de $\delta^i$ y si tenemos la misma situación en $N$ , $\alpha_k = d\beta_k$ entonces la regla de la cadena es

$$\frac{\partial (f\circ g)}{\partial \beta_k} = \sum_i \frac{\partial f}{\partial \zeta_i}\circ g\cdot \frac{\partial (\zeta_i\circ g)}{\partial \beta_k}.$$

Las derivadas de Wirtinger son el caso especial con $\zeta_i = z_i$ para $1 \leqslant i \leqslant m/2$ y $\zeta_i = \overline{z}_{i-m/2}$ para $m/2 < i \leqslant m$ (o alguna otra numeración), y análogo para el $\beta_k$ .