Explicar por qué la $\gcd(x,y)=\gcd(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ si $x$,$y$ son enteros impares.

Question

Si $x$,$y$ son enteros impares, sostienen que

$$\gcd(x,y)=\gcd\left(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2}\right)\;.$$

Estoy teniendo un momento difícil con esto:

Primero, he intentado un par de ejemplos para comprobar que mi profesor no hacer de nuevo un error evidente, porque él es muy bueno en eso. Pobre hombre..

$$\gcd(5,3)=\gcd\left(\frac{5+3}{2},\frac{5-3}{2}\right)=1$$

$$\gcd(15,3)=\gcd\left(\frac{15+3}{2},\frac{15-3}{2}\right)=3$$

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $d\mid x$$d\mid y$; entonces claramente $d\mid x+y$$d\mid x-y$. Desde $x$ $y$ son impares, $x+y$ $x-y$ son incluso, por lo que no son enteros $m$ $n$ tal que $x+y=2m$$x-y=2n$. Por lo tanto, $d\mid 2m$$d\mid 2n$. Pero $d$ debe ser impar (por qué?), por lo $d\mid m$$d\mid n$. Por lo tanto, $\gcd\{x,y\}\mid\gcd\{m,n\}$.

Ahora supongamos que $d\mid m$$d\mid n$. Puede usted demostrar que $d\mid x$$d\mid y$, por lo que se puede concluir que el $\gcd\{m,n\}\mid\gcd\{x,y\}$?