Condiciones necesarias para que los autovalores $\lambda_{\min}(A) >\lambda_{\min}(B)$ $\lambda_{\max}(A) >\lambda_{\max}(B)$ etc?

Question

Dado $\operatorname{tr}(X^TAX) > \operatorname{tr}(X^TBX)$ $A$ $B$ p.s.d entonces, ¿bajo qué condiciones tenemos $\lambda_{\max}(A)>\lambda_{\max}(B)$ garantizado ? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para $\lambda_{\min}(A)>\lambda_{\min}(B)$ ? Todas las entradas de la matriz son reales y valorada $X$ es una matriz rectangular. En tercer lugar, ¿cuáles son las condiciones para la segunda menor autovalor (algebraica de conectividad) de $A$ mayor que la del mismo para $B$? También en cuarto lugar, ¿cuáles son las condiciones para que los autovalores de a $A$ a majorize los autovalores de a $B$ desde arriba, de abajo y así sucesivamente? Y por majorization me refiero a que esta propiedad matemática: https://en.wikipedia.org/wiki/Majorization . Y por último y más importante de todas para mí..¿cuáles son las condiciones de w.r.t $A(X)$ $B(X)$ $\operatorname{tr}(X^TA(X)X) > \operatorname{tr}(X^TB(X)X)$ a si $A(X)$ $B(X)$ son funciones de X y la matriz de valoración?

Answer 1

Si $X$ es fijo, no es poco lo que puede decirse en general. Si tenemos $$\text{tr}(X^TAX)>\text{tr}(X^TBX)$$ for all $X$, then $\lambda_k(A)>\lambda_k(B)$ for all $j$. Esto se deduce de la $$\lambda_k(A)=\min_{\dim K=k}\max\{x^Impuestos:\ x\in K,\ x^Tx=1\}.$$ Por un subespacio $L$, tenemos $$\max\{x^TAx:\ x\in L,\ x^Tx=1\}>\max\{x^TBx:\ x\in L,\ x^Tx=1\},$$ since $x^Impuestos=\text{Tr}(X^IMPUESTOS)>\text{tr}(X^TBX)=x^TBx$, where $X$ is the matrix with $$x en la primera columna y ceros en otros lugares. Entonces$$ \lambda_k(B)=\min_{\dim K=k}\max\{x^TBx:\ x\in K,\ x^Tx=1\} <\max\{x^Impuestos:\ x\L,\ x^Tx=1\}. $$Pero ahora podemos hacer esto para cualquier $L$$ \dim L=k$, y por lo$\lambda_k(B)<\lambda_k(A).$

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Con respecto a majorization: vamos a $P(X)$ denotar la proyección sobre la diagonal (o "pellizcar"), es decir, $P(X)$ es la matriz diagonal con $X_{11},\ldots,X_{nn}$ y ceros en otros lugares. Entonces tenemos, gracias a la Schur-Horn teorema:

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• $\lambda(B)\prec\lambda(A)$

• Existen unitaries $U,V$ tal que $B=VP(UAU^*)V^*$.

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En relación a tu última pregunta, "las funciones de $X$" es extremadamente vaga, así que no creo que cualquier conclusión que se puede extraer.