Sea D la región encerrada por la elipse $2x^2 + 3y^2 = 1$ y la línea $y = 0$, para $y \le 0$. Usando coordenadas polares, evaluar la integral $$\int\int[\sinh(4x^2 + 6y^2)]\,dx\,dy$$ Haciendo el cambio de variables $x = \frac r{\sqrt 2}\cos(\theta)$ and $y = \frac r{\sqrt 3}\sin(\theta)$
Este es mi intento pero no estoy seguro si es correcto,
El cambio de variables dado reduce $2x^2 + 3y^2 = 1$ a $r^2 = 1$. Dado que $y \le 0$, tomamos $\theta\in [\pi, 2\pi]$.
Luego, el Jacobiano $|(x,y)/(r,)|$ es igual a $|(1/2) \cos \dots(-r/2) \sin ||(1/3) \sin \dots(r/3) \cos | = r/6$
Por lo tanto, el cambio de variables produce $$ \begin{align} & \phantom{={}}\iint\limits_D \sinh(4x^2 + 6y^2)\, dx\, dy \\[6pt] & = _\pi^{2\pi} _0^1 \sinh(r^2) \cdot (r/6) \,dr\, d\theta \\[6pt] & = (1/6) _\pi^{2\pi} d\theta \cdot _0^1 r \sinh(r^2) \,dr \\[6pt] & = (1/6) \cdot \pi^{2\pi} \, d\theta \cdot (1/2) \cosh(r^2) \text{para } r \in [0,1] \\[6pt] & = (/(26)) (\cosh(1) - 1) \end{align} $$
¿Si estoy equivocado puedes corregirme por favor?
