Solicitud Para Obtener Un Ejemplo De Un Mapa Continuo En Relación A La Caja De La Topología En $\mathbb{R}^J$, Cuando Se $J$ Es Infinito

Question

Deje $J$ denotar una infinita --- contable o incontable --- conjunto de índices. Deje $\mathbb{R}^J$ denota el conjunto de todos los $J$-tuplas de números reales (es decir, el conjunto de todos los reales valores de las funciones con dominio $J$) en el cuadro de topología teniendo como base todos los productos Cartesianos de la forma $$B \colon= \Pi_{\alpha \in J} \left(a_{\alpha}, b_{\alpha} \right) = \left\{ \ (x_{\alpha})_{\alpha \in J} \ \colon \ x_{\alpha} \in (a_\alpha, b_\alpha ) \ \right\},$$ donde $$ \left(a_{\alpha}, b_{\alpha} \right) \colon= \left\{x_{\alpha} \in \mathbb{R} \ \colon \ a_{\alpha} < x_{\alpha} < b_{\alpha} \ \right\}.$$

A continuación hay un ejemplo de una "no-constante" función continua $f$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^J$, especialmente cuando se $J$ es incontable?

Incluso la función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ definido por $$ t \mapsto (t, t, t, \ldots )$$ no puede ser continua!

¿Cuál sería la forma de tales funciones continuas, me pregunto?

Una idea de último momento:

Es cierto que tales funciones, necesariamente, han de consistir en constante funciones excepto en sólo un número finito de coordenadas? Es decir, es cierto que si $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^J$ está dado por $$f(t) \colon = \left( f_\alpha (t) \right)_{\alpha \in J} \ \ \ \forall \ t \in \mathbb{R},$$ donde $f_\alpha \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por cada $\alpha \in J$, a continuación, en orden de $f$ a ser continua, todas las funciones de $f_\alpha$ son constantes las funciones excepto posiblemente por sólo un número finito de índices de $\alpha$?

Answer 1

Hay una continua $f:\Bbb R\to\Bbb R^{\Bbb N}$ donde $\Bbb R^{\Bbb N}$ tiene el cuadro de la topología, de tal manera que si $\pi_n:\Bbb R^{\Bbb N}\to\Bbb R$, es habitual el mapa de proyección a la $n$-ésimo factor, a continuación, $\pi_n\circ f$ es surjective para cada una de las $n\in\Bbb N$. Sin embargo, aunque el rango de $f$ es lo suficientemente grande para proyecto en cada factor de la caja del producto, es cierto que cada una de las $f(\alpha)$ es finalmente constante – de hecho, eventualmente $0$.

Vamos

$$f:\Bbb R\to\Bbb R^{\Bbb N}:\alpha\mapsto\big\langle\operatorname{sgn}(\alpha)\max\{|\alpha|-n,0\}:n\in\Bbb N\big\rangle\;.$$

Por ejemplo, $f(\pi)=\langle\pi,\pi-1,\pi-2,\pi-3,0,0,0,\ldots\rangle$.

Para $x\in\Bbb R^{\Bbb N}$ y la secuencia de las $\epsilon=\langle\epsilon_n:n\in\Bbb N\rangle$ de los números reales positivos vamos a

$$B(x,\epsilon)=\left\{y\in\Bbb R^{\Bbb N}:|x_n-y_n|<\epsilon_n\text{ for each }n\in\Bbb N\right\}\;.$$

Deje $\alpha\in\Bbb R$$\alpha\ge 0$, y deje $\epsilon=\langle\epsilon_n:n\in\Bbb N\rangle$ ser una secuencia de números reales positivos. Sin pérdida de generalidad supongamos que cada una de las $\epsilon_n<1$, y que si $\alpha\notin\Bbb Z$, luego

$$\epsilon_n<\min\{\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,\lceil\alpha\rceil-\alpha\}\;.$$

Deje $\delta=\min\{\epsilon_n:n\le\lfloor\alpha\rfloor\}$, y supongamos que $|\beta-\alpha|<\delta$.

Si $n\ge\lfloor\alpha\rfloor+1$,$\beta<\alpha+\epsilon_n<\lfloor\alpha\rfloor+1\le n$, lo $$\max\{\beta-n,0\}=0=\max\{\alpha-n,0\}\;.$$

Si $n\le\lfloor\alpha\rfloor$, entonces, ciertamente,$|(\beta-n)-(\alpha-n)|=|\beta-\alpha|<\delta\le\epsilon_n$, y se consideran dos casos.

• Si $\beta\ge\alpha$,$\max\{\beta-n,0\}=\beta-n$, e $|(\beta-n)-(\alpha-n)|<\epsilon_n$.
• Si $\beta<n\le\alpha$,$\max\{\beta-n,0\}=0$, e $|0-(\alpha-n)|=\alpha-n<\alpha-\beta<\delta<\epsilon_n$. Si $n\le\beta<\alpha$, esto es como el primer caso.

De ello se desprende que $f(\beta)\in B\big(f(\alpha),\epsilon\big)$ y que, por ende, $f$ es continua en a $\alpha$. El argumento negativo $\alpha$ es totalmente similar.

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Si asumo la hipótesis continua, puedo demostrar que esto es lo mejor que podemos hacer: si $f$ es un mapa continuo de $\Bbb R$ en la caja del producto $\Bbb R^{\Bbb N}$, entonces cada una de las $f(\alpha)$ finalmente es constante.