Que $H_n=1+1/2+..+1/n=p_n/q_n$. Encontrar todas las $n$ tal que $3|p_n$

Question

Problema: Vamos a $H_n=1+1/2+..+1/n=p_n/q_n$$\gcd(p_n,q_n)=1$. Encontrar todos los $n$ tal que $3|p_n$.

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Observaciones:

Tenga en cuenta que $H_n=(n!/1+n!/2+...+n!/n)/n!$. Si $3|p_n$, y el numerador de esta fracción debe tener 3-ádico de valoración, al menos,$3^t$.

Deje $v_3(n!)=t$, y considerar la potencia más grande de $3$ que no exceda $n$, se $3^s$. Si $i \in \{1,2,..,n\}$ $i$ no es divisible por $3^s$,$v_3(n!/i) \ge 3^{t-s+1}$. Si $i$ es divisible por $3^s$,$v_3(n!/i)=3^{t-s}$.

Por lo tanto $(n!/1+n!/2+...+n!/n)$ es de la forma $3^{t-s+1}a+3^{t-s}b=3^{t-s}(3a+b)$. No estamos seguros de si $b$ no es divisible por 3, por lo que en el fin de encontrar la 3-ádico de valoración del numerador tenemos que tomar algunos casos.

Caso I: $3^s \le n <2*3^s$

Entonces la única $i \in \{1,2,..,n\}$ divisible por $3^s$$3^s$, lo $b=1$.

A continuación, el 3-ádico de valoración del numerador es $3^{t-s}$, que debe ser al menos de $3$, lo $s=0$, y no hay soluciones aquí.

Caso II: $2* 3^s \le n <3^{s+1}$

Entonces la única $i \in \{1,2,..,n\}$ divisible por $3^s$$3^s$$2*3^s$, lo $b=1+2=3$.

Entonces el numerador es de la forma $3^{t-s}(3a+3b)$, pero no sabemos nada acerca de $a$ o $b$ que nos dice si $a+b$ es divisible por $3$,por lo que estamos estancados.

Podemos encontrar más información si tenemos en cuenta el $i \in \{1,2,..,n\}$ divisible por $3^{s-1}$, yo.e $3^{s-1},2*3^{s-1},...,6*3^{s-1}$ y posiblemente $7*3^{s-1}$$8*3^{s-1}$.

Por ejemplo, si usted supone que $8*3^{s-1}\le n<3^{s+1}$, entonces el numerador es de la forma $3^{t-(s-2)}a+n!/3^{t-(s-2)}a3^{s-1}+...+n!/(8*3^{s-1})=3^{t-(s-2)}a+760*n!/(280*3^{s-1})=3^{t-(s-2)}a+3^{t-(s-1)}b=3^{t-(s-1)}(3a+b)$.

Por lo tanto $s=1$, lo que significa que $n=8$ es la única posibilidad para este caso (no funciona de todos modos).

Hay otras 2 subcases, que no da la solución válida $n=7$, pero el otro tiene el mismo problema de falta de información acerca de $a$$b$. Así que ahora estoy muy atascado.

Un equipo de verificación muestra que $n=2,7,22$ son las únicas soluciones para $n<10,000$.

Edit: también he intentado usar la recíproca. Si $i \in \{1,2,..,n\}$ $i$ no divisible por $3$, $i^{-1}$ (inverso de $i$ modulo $n$) no es divisible por $3$. Así que mirando en $H_n$ modulo $3$ podemos tomar las fracciones de la forma $1/i$, $i$ no divisible por $3$. Su suma es equivalente a la suma de todos los $i$ (los inversos de las $i$'s son una permutación de las $i$'s). Esta suma es $0$ si $n=0,2 \mod 3$ $1$ lo contrario. El resto de los términos en $H_n$ igual a $1/3H_(\lfloor n/3 \rfloor)$. No creo que te sea de ayuda.

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Por favor, hágamelo saber si mi enfoque puede ser hecho para trabajar, y si no por favor enviar una solución.

Answer 1

He encontrado una solución con la idea de mi edición en los detalles de la pregunta. Llame a $n$ bueno si $3|p_n$.

Podemos escribir

$H_n=(1/3)H_{\lfloor n/3 \rfloor}+(1/1+1/2+1/4+1/5+..+1/(3k+1)+1/(3k+2))$

para una adecuada $k$. La suma de los paréntesis puede ser escrito

$3/1*2+9/4*5+15/7*8+..+(6k+3)/[(3k+1)*(3k+2)]$

El numerador de cada fracción de esta suma es divisible por 3. El denominador de cada fracción no es divisible por 3. Por lo tanto, la suma es de la forma $3a_n/b_n$ $\gcd(a_n,b_n)=1$ $b_n$ no divisible por $3$.

Deje $H_{\lfloor n/3 \rfloor}=p/q$$\gcd (p,q)=1$. Entonces podemos escribir $H_n=(1/3)(p/q)+3*a_n/b_n=(pb_n+9a_nq)/(3b_nq)$.

Tenga en cuenta que si $p$ no es divisible por $3$, el numerador de esta fracción no es divisible por $3$, lo $p_n$ no es divisible por $3$. Por lo tanto tenemos el siguiente resultado:

Si $n$, $\lfloor n/3 \rfloor$ es bueno.

Ahora supongamos $3^k \le n <3^{k+1}$. A continuación,$3^{k-1} \le \lfloor n/3 \rfloor <3^k$. Por lo tanto si $n \in [3^k,3^{k+1})$ es bueno, entonces debe haber un correspondientes buen número de en $[3^{k-1},3^k)$.

Primero revisamos $k=0$, sólo nos encontramos con $2$ es bueno. Para $k=1$ solo necesitamos comprobar $n=6,7,8$, sólo nos encontramos con $7$ es bueno. Para $k=2$ solo necesitamos comprobar $n=21,22,23$, sólo nos encontramos con $22$ es bueno. Para $k=3$ solo necesitamos comprobar $66,67,68$, nos encontramos con que ninguno de ellos son buenos. Por lo tanto no hay un buen $n \ge 27$.

Así que la única buena $n$$2,7,22$.

Nota: puede utilizar el método que he descrito en la pregunta de los detalles para hacer los cálculos en el final. Voy a llenar en los detalles más tarde.