5 votos

¿Cómo se aplican las transformaciones infinitesimales de mentira de Sophus a un "cálculo sin infinitesimales"?

Una Mentira grupo es un grupo que es también un suave colector (de un modo compatible con la estructura de grupo). Una Mentira álgebra es el espacio de la tangente de una Mentira grupo (en la identidad).

En este trabajo, el autor define una continua infinita grupo como un conjunto de transformación en la satisfacción de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (sin tomar en cuenta a todos los grupos que no pueden ser definidas por ecuaciones diferenciales), y luego se va a demostrar que todo continua infinita grupo ha transformaciones infinitesimales (una transformación infinitesimal ser infinitamente pequeña transformación que-de algún modo!-- nos permite soltar todo de orden superior "infinitamente pequeño" términos y mantener sólo la de primer orden, y una infinitamente pequeña transformación de ser una transformación que difiere de la identidad "infinitamente pequeños").

De Wikipedia, la Mentira álgebras de formalizar transformaciones infinitesimales, como los grupos de formalizar la simetría.


Es mi entendimiento de que Weierstrass/et al. se dispuso a "desterrar infinitesimals de las matemáticas", para llegar finalmente, algunos siglos después de la original avances de Leibniz/Newton, en los límites.

Ahora, con los límites de lo posible (pero incómodo?) para demostrar resultados importantes, tales como

$$dy = {dy \over dx}dx$$

o

$${f(x) \over g(y)} = {dy \over dx} \hspace8pt \Longrightarrow \hspace8pt f(x)dx = g(y)dy,$$

o

$${dy \over dx} = {1 \over {dx \over dy}}$$

o

$$\int df = f,$$

todos los que han intuitiva (y riguroso.) las pruebas usando un infinitesimal enriquecido continuo.


¿Por qué encontramos muchas referencias a "infinitesimal" cosas en la Mentira del grupo de literatura y no en el cálculo de la literatura? ¿Tenemos realmente necesidad de transformaciones infinitesimales para el estudio de la Mentira de los grupos?

Mi conjetura es que todos Mienten teoría puede ser formulado con los límites y los barrios, como el cálculo (no Mentira teoría de comenzar con suave colectores y tangente de los espacios, después de todo?), y que la diferencia en el vocabulario histórico (Mentira le gustaba la palabra "infinitesimal", de Weierstrass no).

3voto

Drealmer Puntos 2284

La especulación es esencialmente correcto... aunque la noción de "límite", fue parte de la anterior (por ejemplo, pre-Weierstrass, etc) cálculo, así. Es sólo que a veces mezclados con infinitesimals, mientras que Weierstrass (entre otros) sucedió en "la definición de los límites de" sin infinitesimals (para mejor o para peor).

Acerca de la Mentira de la teoría: incluso hoy en día, es común hablar de la "infinitesimal de acción" de una Mentira grupo, por la cual se significa la acción de la Mentira álgebra obtenidos mediante la diferenciación de la acción del grupo (cuando el límite existe, por ejemplo, la fluidez de los vectores en una representación): en la línea real, por ejemplo, el infinitesimal de acción de la traducción de $T_xf(y)=f(x+y)$${d\over dx}|_{x=0}f(x+y) = f'(y)$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X