Resolver numéricamente la parte angular de la ecuación de Schrodinger

Question

Me gustaría resolver la parte angular (la de lo que se suele llamar el $\theta$ ángulo) de una ecuación de Schrodinger 3D independiente del tiempo $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^2) \frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x} \right]+\left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right]P(x) = 0, $$ donde $l=0,1,2,\ldots$ y $m = -l, -l+1, \ldots, l$ como de costumbre y $x\in[-1,1]$ ,

Ahora, la complicación es que quiero hacerlo numéricamente. Analíticamente, uno obtiene un montón de polinomios de Legendre y armónicos esféricos. Sin embargo, para mí no está claro qué condiciones de contorno debo poner.

Una condición de contorno será probablemente equivalente a la normalización de mis soluciones. Para hacerla compatible con los polinomios de Legendre, puedo establecerla en $$ P(1) =1. $$

Sin embargo, ¿qué ocurre con la segunda (al fin y al cabo, se trata de una EDO de segundo orden)? Supongo que debería codificar de algún modo el hecho de que mis soluciones deben estar acotadas.

Cualquier comentario, incluido el envío a RTFM (con los enlaces apropiados), será más que bienvenido.

Answer 1

Lo que estás haciendo es un problema de valores propios. Los vectores propios están determinados por el espacio en el que se mira, y por eso se suelen especificar algunas condiciones de contorno. En tu caso, basta con que no haya singularidades (es decir, quieres un subespacio de $C[-1,1]$ ). Este es el punto de vista analítico.

En realidad, el punto de vista numérico depende de su algoritmo. En primer lugar, si realmente quieres "resolver la ecuación numéricamente", supongo que estás jugando a no conocer la respuesta. Así que en realidad no sabes que $l$ es entero de antemano. Si yo estuviera resolviendo el problema, lo pondría en un enrejado y lo escribiría como un problema de valores propios de dimensión finita. Al derivar las ecuaciones en diferencias finitas utilizaría el hecho de que mi solución debería ser finita en los puntos extremos del intervalo.

Una forma de hacerlo es introducir una red homogénea en los puntos (llamémoslos así) 0,1,2,3,4... A continuación, integrar la ecuación de $i-1/2$ a $i+1/2$ y utilice fórmulas de diferencia media para las derivadas (necesitará sus valores en $i\pm1/2$ ) y la fórmula de los rectángulos medios para integrales (es importante utilizar aproximaciones del orden adecuado. Creo que te estoy diciendo un algoritmo de presicion de segundo orden). Luego tendrás que hacer algo con los puntos extremos. Para ellos haz la integración de $0$ a $1/2$ y respectivamente en el otro extremo. Para ello se utilizará el hecho de que $(1-x^2)\frac{dP}{dx}$ es $0$ en los puntos finales. Y esto recoge el espacio apropiado para sus soluciones.

Resumiendo, creo que al menos para algunos esquemas de cálculo las condiciones deberían ser que $(1-x^2)\frac{dP}{dx}$ desaparece en los extremos.

Answer 2

Como la coordenada es un ángulo, debes especificar las condiciones periódicas de contorno.