¿El producto de dos series divergentes es divergente?

Question

Esta es una pregunta de VERDADERO/FALSO:

El producto de dos series divergentes es divergente.

La respuesta correcta es FALSO.

Sé que el producto de dos series convergentes puede no ser convergente (es decir $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ) según el producto de Cauchy.

Mi pregunta es ¿por qué "El producto de dos series divergentes puede no ser divergente"? ¿Hay algún contraejemplo?

Gracias.

Answer 1

Toma la serie $(-1,-2,-2,-2,\dots)$ y la serie $(-1,2,-2,2,-2,\dots)$ . El producto Cauchy de estas dos series es $(1,0,0,0,\dots)$ .

Puedes pensar en ellos como la serie de potencias de la función $$f(z)=\frac{z+1}{z-1} = 1-2\sum_i z^i$$ y $$g(z)=\frac{z-1}{z+1}=1-2\sum_{i} (-1)^iz^i=f(-z)$$ Ninguna de las dos series de potencias converge en $z=1$ que es la afirmación de que $\sum a_i$ y $\sum b_i$ diverge, pero su producto de Cauchy da la serie de potencias de la identidad...

Esencialmente, la operación subyacente de los productos de Cauchy es el producto de la serie de potencias correspondiente. (Esta es la razón "obvia" por la que el producto de Cauchy de secuencias es asociativo, por ejemplo...)

Puede definir $a_k=k^k$ (con $a_0=1$ ) y se puede encontrar la inversa multiplicativa (Cauchy) y la serie de potencias también tendrá radio de convergencia $0$ y por lo tanto $b_i\to\infty$ también.

Answer 2

Suponiendo que te refieras al producto puntual, este es el contraejemplo más sencillo que se me ocurre: $$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} \right) \!\!\! \left( \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

pero $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ diverge.