¿Cuándo un sistema de desigualdades tiene sólo la solución de $x=0$?

Question

Deje $A$ $n\times n$ reales valores de la matriz, $n\ge 2$. Para cada columna de n-vectores $x$ $A\cdot x=0$ obtenemos $n$ ecuaciones

$$a_1^1x_1+a_1^2x_2+\dots+a_1^nx_n=0\\a_2^1x_1+a_2^2x_2+\dots+a_2^nx_n=0\\\dots\\a_n^1x_1+a_n^2x_2+\dots+a_n^nx_n=0$$

Sé que si $det(A)\neq 0$, entonces la única solución a$A\cdot x=0$$x=0$.

Ahora reemplace todas las anteriores igualdades con las desigualdades con el fin de obtener el siguiente sistema:

$$a_1^1x_1+a_1^2x_2+\dots+a_1^nx_n\ge 0\\a_2^1x_1+a_2^2x_2+\dots+a_2^nx_n\ge 0\\\dots\\a_n^1x_1+a_n^2x_2+\dots+a_n^nx_n\ge 0$$

Que las condiciones en la matriz $A$ garantía de que la única solución de este sistema de desigualdades es $x=0$?

Por supuesto, si $det(A)=0$ la condición no puede cumplirse, por lo que vamos a suponer $det(A)\neq 0$ y la búsqueda de condiciones adicionales.

Answer 1

Como ha dicho, los lados de la mano izquierda pueden considerarse como la acción de una matriz en un vector ($A \vec x$).

Si $A$ tiene rango completo, entonces es inversible, entonces no puede cumplir su requisito.

Si $A$ no tiene rango completo, entonces su núcleo no es trivial, entonces ser otros vectores se asigna al vector cero, por lo que no puede cumplirse su reuqirement.

Esto significa que es imposible.