Nonabelian simetrías globales, $SO(N)$ cargos en términos de los operadores de creación y aniquilación

Question

Considerar una teoría simétrica de $SO(N)$ de $N$ fields,$$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda (\Phi^a \Phi^a)^2.$$The Noether charge is$$Q_{ab} = \int_{\Omega^3} d^3x\,J_{ab}^0,$$where $\Omega^3$ is all space. $Q$ is constant in time. We can express $J^0$ in terms of $\pi$ and $\Phi$ as$$J_{ab}^0 = \partial^0 \Phi_a \epsilon_{ab}\Phi_b = \pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b.$$Define$$\epsilon^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if }(i, j) = (a, b) \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}\Big\} = -\epsilon^{ji},$$so $\epsilon^{ab reales escalares} = 1 =-\epsilon^{ba}$ and all other entries are $0$. Then the Noether charge becomes$$Q_{ab} = \int d^3x\,J_{ab}^0 = \int d^3x\,\pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b = {1\over2} \int d^3x(\pi_a \Phi_b - \pi_b \Phi_a).$$While summing over $SO (N) $ indices, we pick up a factor of $ {1\over2} $ since the skew-symmetry of $\epsilon$ nos hace a cuenta de la doble.

Mi pregunta es, ¿cuáles son lo cargos de $SO(N)$$Q_{ab}$aquí en términos de operadores de aniquilación y creación bosonic?

Answer 1

Primero de todo, hay un par de problemas con su pregunta:

• $J_{ab}^0 = \pi^a \epsilon^{ab} \Phi^b$ no es una expresión válida, ya que no es una suma en el lado derecho de la ecuación, pero a y b son libres de índices en el lado izquierdo. Su definición de la $\epsilon$ es un poco raro, demasiado. Lo que significa es $$ J_{ab}^0 = \pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j$$ donde las matrices $\epsilon_{ab}$ son los generadores de la Mentira álgebra $so(N)$, d.h. $$\epsilon_{ab}^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } (a,b)=(i,j) \\ -1 & \text{if } (a,b)=(j,i) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
• En realidad, $\pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j = \pi^a \Phi^b - \pi^b \Phi^a$, por lo que el $\frac 1 2$ es demasiado en la última línea.

En cuanto a tu pregunta, ¿has probado a ti mismo? Usted tiene que insertar $$ \Phi^a = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E}} \left( a^a(p) e^{ipx} + (a^a)^\dagger(p) e^{-ipx} \right) $$ (además de la expresión similar para $\pi^a$) y el uso de $ \int d^3x e^{i(p-p')x} = (2\pi)^3 \delta(p-p') $, entonces usted debe conseguir un resultado.