Primero de todos, el límite inferior está buscando la siguiente manera directa si se demuestra que el menor autovalor de la auto-adjunto realización de
$$
\mathcal L=-\frac{d^2}{dt^2}+9t^6+18t^4
$$
en $L^2(\mathbb R)$ está acotado abajo por $3$. Este hecho de la siguiente manera teniendo en cuenta la de Rayleigh–Ritz cociente de $\mathcal L$, ya que el $C_c^{+\infty}$ está incluido en el dominio de $\mathcal L$.
Declaración de La menor autovalor de a $\mathcal L$ es igual a $3$.
Prueba
Para hacer una más larga historia corta, después de algunos intentos fallidos para uso espectral de los límites (si usted se considera una gaussiana por ejemplo, usted verá que el menor autovalor es menor que $3.09217$, este es el motivo de mi comentario anterior) , finalmente me ocurrió mirar funciones en la forma (esto es motivado en primer lugar por gaussianas, pero también por el hecho de que queremos una función par)
$$
\psi(t)=ce^{a_2t^2+a_4t^4},
$$
donde $c$ es anormalization constante. Resulta que si dejamos $a_2=-3/2$$a_4=-3/4$, es decir, considerar la función
$$
\psi(t)=ce^{-\frac{3}{4}t^2(2+t^2)}
$$
a continuación, una simple diferenciación de la muestra que
$$
\mathcal L\psi=3\psi.
$$
Por último, se debe argumentar que la eigenfunction $\psi$ corresponde a la menor autovalor. Pero, que sigue de Sturm–Liouville teoría, ya que $\psi$ no cambia de signo. $\square$
Como un bono, te doy un complot de los cuatro más bajos funciones propias de $\mathcal L$ (trazada a la altura de su correspondiente autovalor), junto con el potencial de la parcela se realizó mediante una ligera modificación de este gran código).
![eigenfunctions]()
