¿Viola la ecuación del calor la causalidad?

Question

Me he encontrado con la idea de que, además de escribir simplemente las ecuaciones diferenciales parciales en forma covariante, tienen que ser hiperbólicas con todas las velocidades características menores que la velocidad de la luz. Una generalización directa de las ecuaciones para un fluido disipativo al caso relativista supuestamente tiene problemas debido a la presencia de la ecuación del calor:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T.$$

En la teoría relativista actual esto se generaliza a algo covariante como

$$u^\mu\nabla_\mu T = \kappa(g^{\mu\nu}-u^\mu u^\nu)\nabla_\mu\nabla_\nu T, $$

donde $ u $ es un vector temporal (esto es sólo esquemático, hay otros términos). Pero el punto es que todavía hay un problema con esta teoría porque esta es una ecuación parabólica.

Me pregunto si hay alguna forma de ver algo claramente patológico como las señales superlumínicas en la ecuación del calor. Esto no me queda muy claro ya que la ecuación no es ondulatoria. Si suponemos que no se pueden enviar señales más rápidas que la luz ¿cuál sería el problema con las ecuaciones no hiperbólicas?

Answer 1

Lo que sigue no es, desde luego, una respuesta exhaustiva que aborde todas sus preocupaciones. Es una respuesta a la pregunta

¿hay alguna forma de ver algo claramente patológico como las señales superlumínicas en la ecuación del calor?

Yo diría que sí, que lo hay.

La solución general del problema de valor inicial $T(x,0) = T_0(x)$ para la ecuación del calor en la recta real es \begin{align} T(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}dx'\, T_0(x')G(x-x', t). \end{align} donde $G$ es la función de Green para la ecuación del calor y viene dada explícitamente por \begin{align} G(x,t) = \frac{e^{-x^2/(4\kappa t)}}{\sqrt{\pi (4\kappa t)}}. \end{align} Tenga en cuenta que si $T_0(x) = \delta(x)$ es decir, si se proporciona un impulso unitario de calor localizado en el origen a $t=0$ Entonces, para todos los tiempos posteriores, la distribución de la temperatura sería igual a la función de Green (por lo que se suele llamar función impulso-respuesta y/o función fuente): \begin{align} T(x,t) = \frac{e^{-x^2/(4\kappa t)}}{\sqrt{\pi (4\kappa t)}}, \qquad t>0. \end{align} Pero se trata de una distribución gaussiana sobre la recta real que es distinta de cero en todas partes para todo $t>0$ . En otras palabras, si se calienta un punto de la línea real en el tiempo $t=0$ entonces para cualquier $t>0$ por pequeña que sea, toda la línea tendrá alguna temperatura distinta de cero, aunque haya empezado a temperatura cero en todas partes excepto en el origen.

Este comportamiento permite una señalización superlumínica. Para ver cómo es esto, fíjate en que si tienes una varilla larga desde aquí hasta Próxima Centauri hecha de un material que obedece con precisión la ecuación del calor, y si quieres avisar a tu aliada situada cerca de Próxima Centauri de un inminente ataque alienígena, sólo tienes que mantener la varilla fría hasta el momento en que oigas la información de un ataque. En ese momento, puedes simplemente calentar la parte de la varilla que está a tu lado, y ella medirá instantáneamente la parte de la varilla que está a su lado como más caliente. Ella puede entonces comenzar inmediatamente a prepararse para defender su puesto.