Conjunto parcial

Question

Definamos $\mathbb{C}$ por $$\mathbb{C} = \mathbb{R}^2.$$ Elementos reales de $\mathbb{C}$ son tuplas $(x, 0)$. Pero $x \neq (x, 0)$, lo $\mathbb{R}$ no puede ser un subconjunto de a $\mathbb{C}$.

Yo también he leído la siguiente definición. Vamos $$\mathbb{C} = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{R},\ i^2 = -1 \}.$$ Pero no es $i \in \mathbb{R}$ tal que $i^2 = -1$, entonces, ¿dónde se $i$? Si $i \in \mathbb{C}$, entonces estamos usando $\mathbb{C}$ en la definición de $\mathbb{C}$.

NOTA: al Parecer, hay preguntas similares sobre el MSE, pero creo que lhf la respuesta es la mejor y más conciso. También, el título de "R es un subconjunto de C?" es mucho más fácil a google que "Es un+0i en todos los sentidos, equivalente a sólo una?" No quiero a los lectores a ser redirigido.

Answer 1

No importa cómo se defina $\mathbb C$, el punto crucial es que el $\mathbb C$ contiene una copia de $\mathbb R$, que todavía podemos denotar por $\mathbb R$, de tal manera que $\mathbb C = \mathbb R + i\mathbb R$.

En matemáticas, importa menos lo que las cosas son de cómo se comportan. Si dos cosas se comportan exactamente de la misma, se la lleva a ser la misma cosa, incluso si el conjunto de la teoría de la construcción de cada uno de los conducirán a diferentes conjuntos. El término técnico es que consideramos que los objetos matemáticos hasta isomorfismo, donde isomorfismo depende del contexto.

Esto es especialmente fuerte cuando los objetos tienen una categórica caracterización que dice que son esencialmente el único objeto posible con tales características. En el caso que nos ocupa, $\mathbb R$ es la completa ordenó campo y $\mathbb C$ es la clausura algebraica de $\mathbb R$ (o el único algebraicas extensión de $\mathbb R$ o el sólo cuadrática extensión de $\mathbb R$).

Answer 2

No es malo para usted de preocuparse, y se produce el mismo problema en otros lugares:

• Podemos definir la $\Bbb Z$ $\Bbb N_0$ como un conjunto de clases de equivalencia de a $\Bbb N_0^2$ donde $(a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c$. Pero, a continuación,$\Bbb N\not\subset \Bbb Z$.
• Podemos definir la $\Bbb Q$ como un conjunto de clases de equivalencia de a $\Bbb Z\times \Bbb N$ donde $(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc$. Pero, a continuación,$\Bbb Z\not\subset \Bbb Q$.
• Podemos definir la $\Bbb R$ a través de Dedekind cortes, los cuales son infinie subconjuntos de a $\Bbb Q$; o como equvalence clases de racional de Cauchy seequences modulo cero secuencias. En ambos casos, $\Bbb Q\not\subset \Bbb R$.

Pero en cada uno de estos casos tenemos una canónica de la incrustación del objeto más pequeño en el objeto más grande que respeta completamente la estructura algebraica. En los ejemplos anteriores hemos

• $\Bbb N_0\to \Bbb Z$, $x\mapsto [(x,0)]$
• $\Bbb Z\to\Bbb Q$, $x\mapsto [(x,1)]$ (donde $1$ es el elemento de la $\Bbb Z$ de ese nombre, por lo que es $[(1,0)]$ de acuerdo a la línea anterior; tenga en cuenta que el $[\ ]$ denotar clases de equivalencia con respecto a totalmente diferentes de las relaciones de equivalencia)
• $\Bbb Q\to\Bbb R$, $x\mapsto \{\,t\in\Bbb Q\mid t<y\,\}$, respectivamente, $x\mapsto [(x,x,x,x,\ldots)]$

Por supuesto que nos finde la misma para $\Bbb R\to \Bbb C$, o sea que definimos $\Bbb C=\Bbb R^2$ con adecuado de las operaciones, o $\Bbb C = \Bbb R[X]/(X^2+1)$.

El canónica de la naturaleza de estas incrustaciones nos permite libremente identificar el conjunto más pequeño con su imagen. Con el fin de ser muy formalmente correcta, se puede coser los conjuntos juntos en consecuencia: Supongamos que tenemos dos conjuntos disjuntos $A,B$ y un inyectiva mapa de $\iota\colon A\to B$, entonces podemos considerar el conjunto $\hat B:=(B\setminus \iota(A))\cup A$ en lugar de $B$, y obtener un conjunto que permite que el mismo construcciones como $B$, mientras que al mismo tiempo el $A$ como un subconjunto. Sin embargo, es más complicado de tratar de definir por ejemplo, además de en una costura ubicado $\hat B$ más que definir, además de forma directa en $B$ y el uso de la canónica de incrustación a la vista de $A$ como un subconjunto de a $B$.

Durante la introducción puede ser muy importante hacer la distinción entre"$A$$\iota(A)$, pero una vez que las propiedades deseadas se han establecido a lo mejor es olvidarse de $\iota$, en el hecho de olvidarse de la "mecánica" de la construcción de la mayor conjunto. Ciertamente no ayuda a un físico en la solución de su ecuación de Schrödinger, si tuviera que recordar que los números complejos que se trabaja con pares ordenados de clases de equivalencia de secuencias de clases de equivalencia de pares ordenados de clases de equivalencia de pares ordenados de finito de los números ordinales (o era de pares ordenados de Dedekind cortes de secuencias de clases de equivalencia de pares ordenados de clases de equivalencia de pares ordenados de finito de los números ordinales y un ordinal finito?).

Otra razón que por lo general viene como reflexión:

• Dado $\Bbb N$ deje $\Bbb Z$ ser cualquier anillo que contiene a $\Bbb N$ como sub-semiring y tal que no hay ningún anillo de $Z$$N\subsetneq Z\subsetneq \Bbb Z$. Resulta que cualquiera de las dos anillos son canónicamente isomorfo - y necesitamos que la ordenó-par-de la construcción sólo para mostrar la existencia de un anillo.

• Igualmente, os $\Bbb Q$ ser cualquier campo que contiene un mínimo de $\Bbb Z$. Resulta que cualquiera de los dos campos son canónicamente isomorfo.

• Igualmente, os $\Bbb R$ ser cualquier mínima de campo que contengan $\Bbb Q$. Resulta que cualquiera de los dos campos son canónicamente isomorfo.
• Igualmente, os $\Bbb C$ ser cualquier mínimo algebraicamente cerrado campo que contiene $\Bbb R$. En realidad, esta vez no es la no canónica de isomorfismo de cualquiera de las dos ámbitos: Lo que nosotros conocemos como $i\in\Bbb C$ puede asignar a cualquiera de las dos raíces del polinomio $X^2+1$. Pero una vez que se repare una de estas raíces y llamar a $i$, podemos considerar que los $\Bbb C$$\Bbb R+\Bbb R i$.

Answer 3

A partir de la segunda definición que proporcionó, los números reales son solo números complejos con$b=0$.

Answer 4

$x \ne (x,0)$ pero $f: R \times 0 = \{(x,0)\} \rightarrow R$ través $f((x,0)) = x$ es un isoomorphism lo $R \cong R \times 0 \subset R^2$

Y en realidad, en un sentido, (x,0) es lo mismo que x. Es fundamental que podemos tomar dos (o más) números reales ponerlos en un par ordenado y que, al hacerlo y la creación de una tercera cosa, el par ordenado, no estamos en realidad están cambiando la modificación de los dos números. Por ejemplo, en la declaración y = 2x + 3 x es, y el eje y es son números reales, sin embargo sentimos que no hay conflicto en el que decía (0,3) es una solución. ¿Cómo es el cero en el par ordenado que se supone ser la misma cosa como 0, el número real, (0, ~) $\ne$ 0. y (~,3) $\ne$ 3?

Excepto que son. En la medida en que el concepto abstracto de los números reales equivale a 0 y 3 existen y no hay un conjunto de números reales, R, se define. A continuación, el concepto abstracto de referencia cruzada de los mismos y (0,3) $\in$ RxR donde el "0" es 0 y el "2" es de 2 y la R de la Rx{c} es R, es también legítimo. Podemos bajar en la semántica y/filosofía y/o el constructivismo en cuanto a lo de la incrustación de la Rs en RxR y ver Rx{c} como el "mismo" como R y lo que es R después de todo, pero en fin. Rx{c} es isomorfo a R en un sentido fundamental y forma intuitiva que conserva todos los conceptos, funciones y propiedades que cualquier distinciones de cómo Rx{c} no es R es tan oscura como la definición de lo que R "realmente" es en sí mismo.

(x,0) es equivalente a x en la visualización de la I cruzada con el único punto trivial 0, y eso es suficiente.

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$i$ es un elemento de C, pero el $i$ no C. no Hay nada de malo con la definición de un conjunto constructivamente desde definido previamente los elementos. Que es como definimos los números enteros y los números naturales, después de todo.