¿Las matrices p-normas son invariantes unitarias?

Question

Considere una matriz$X \in \mathbb{R}^{N \times N}$

Deje$|| X ||_p$ ser su norma:$|| X||_p = (\sum_{ij} |X_{ij}|^p)^{1/p}$

¿Es$||X||_p$ invariante unitario?

A eso se le da una matriz unitaria$U$,$V$, ¿es$||X||_p$ =$||UXV||_p$?

Mi estrategia es formular la norma p en algún tipo de valor o rastro singular. Pero no pude hacer esto.

Si no es unitario invariante, ¿cómo puedo probarlo?

Answer 1

Supongo que usted ya sabe acerca de $p=2$ que es la norma de frobenius de la matriz y es la única norma que se unitarily invariante entre todos los $p$. Para probar que es unitarily invariante, trate de extraer la norma de frobenius en términos de seguimiento del operador y, a continuación, utilizar la circularidad de la traza. Para probar otros casos no son unitarily invariante, trate de elegir ejemplos para cualquier $p$. No sé cómo demostrarlo. Estoy comprobando.

Actualización: Primero de todo, es suficiente para demostrar que el vector $p-$ normas no son unitarily invariante. Esto se sigue de que el factor de que la matriz de $p-$ normas puede ser expresado como el vector $p-$normas de sus columnas. La idea es demostrar que para cualquier $p\neq 2$, usted puede encontrar un vector y una matriz unitaria tal que unitaria invariancia no tiene. Tome $x=[1,0,\dots,0]^T$. Tenga en cuenta que $(||x||_p)^p=1$. Por lo tanto, tenemos que encontrar una matriz unitaria $U$ tal que $(||Ux||_p)^p\neq 1$. Considere la posibilidad de un unitario $U$ cuya primera columna es dado por $c_1=[\frac{1}{\sqrt{N}},\frac{1}{\sqrt{N}},\dots,\frac{1}{\sqrt{N}}]$ (por ejemplo: DFT de la Matriz). Ahora, tenga en cuenta que $(||c_1||_p)^p=N^{1-\frac{p}{2}}$(tenga en cuenta el caso $p=2$). Ahora observe que el $(||Ux||_p)^p=(||c_1||_p)^p\neq 1 = (||x||_p)^p$. Por lo tanto para cada $p$ con la excepción de $p=2$, usted puede construir un contra ejemplo.