Tenga en cuenta, en primer lugar, que puede asumir $a$ y $b$ son números enteros sin pérdida de generalidad. Lo que queremos es que $(x^2-a)^2-b$ sea irreducible y, por tanto, el polinomio mínimo de $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ . Así que vamos a factorizarlo $\mathbb{R}$ : $$(x^2-a)^2-b=(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x+\sqrt{a+\sqrt{b}})(x-\sqrt{a-\sqrt{b}})(x+\sqrt{a-\sqrt{b}})$$ Así que si podemos demostrar que las cuadráticas $(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x+\sqrt{a+\sqrt{b}})$ , $(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x-\sqrt{a-\sqrt{b}})$ , $(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x+\sqrt{a-\sqrt{b}})$ y los 4 términos lineales no son polinomios sobre $\mathbb{Q}$ entonces será irreducible y la extensión del campo será bicadrática.
Veamos en primer lugar $$(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x+\sqrt{a+\sqrt{b}})=x^2-a-\sqrt{b}$$ que es un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ si y sólo si $b$ es un cuadrado. Así que vamos a suponer $b$ es un no cuadrado a partir de ahora. Entonces, en particular $\pm\sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ nunca será racional, por lo que también se ocupa de los posibles términos lineales.
Ahora nos ocupamos de las otras dos cuadráticas: $$(x-\sqrt{a+\sqrt{b}})(x\pm\sqrt{a-\sqrt{b}})=x^2-x*(\sqrt{a+\sqrt{b}}\pm\sqrt{a-\sqrt{b}})\pm\sqrt{a^2-b}$$ Así que para que sea un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ debe ser el caso que $a^2-b$ es un cuadrado, lo que nos dice, por su pregunta anterior, que existe $m,n\in\mathbb{N}$ tal que $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$ . Mirando la respuesta de Hagen a la pregunta anterior, también obtenemos $\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$ por lo que, dependiendo del signo, el término lineal de nuestra cuadrática anterior será $2\sqrt{m}$ o $2\sqrt{n}$ . Asumiremos que es $2\sqrt{m}$ ya que la situación es simétrica en $m$ y $n$ . Por lo tanto, la condición relevante es que $m$ es un cuadrado. Ahora observamos lo siguiente: $$2\sqrt{b}=(\sqrt{a+\sqrt{b}})^2-(\sqrt{a-\sqrt{b}})^2=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2-(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2=4\sqrt{m}\sqrt{n}$$ $$b=4mn$$ Esto implica, en particular, que 4 divide $b$ y, de hecho, también tenemos una especie de inversa: si 4 divide a $b$ entonces podemos factorizar $b=4u^2v$ de diferentes maneras (dependiendo de la cantidad de factores cuadrados $b$ tiene) y cada una de estas factorizaciones corresponde a una elección de $m=u^2$ , $n=v$ por nuestra última ecuación y luego $a=m+n=u^2+v$ por la respuesta a la pregunta anterior. Puede comprobar que $a^2-b$ es de nuevo un cuadrado.
Así que la conclusión es que para que esa extensión no sea bicadrática, se requiere que $b$ es un cuadrado o existe una factorización $b=4u^2v$ tal que $a=u^2+v$ (en cuyo caso en particular $a^2-b$ es un cuadrado).
