Convergencia estelar débil en $L^{\infty}(0,T;H^1(\Omega))$

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio Lipschitz acotado en $\mathbb{R}^n$ .

¿Cuál es el significado de $u_n \rightharpoonup^\star u$ en $L^{\infty}(0,T;H^1(\Omega))$ ?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $X^\star$ su doble. Consideremos la topología de estrella débil $\sigma (X^\star,X)$ en $X^\star$ (véase el libro de Brezis - Análisis Funcional como referencia).

Decimos que una secuencia $u_n\in X^\star$ convergen en la topología de estrella débil a algún $u\in X^\star$ , denotado por $u_n \rightharpoonup^\star u$ , si $u_n(x)\to u(x)$ para todos $x\in X$ .

Para $u,v\in H^1(\Omega)$ , dejemos que $\langle u,v\rangle=\int_ \Omega uv+\int_\Omega \nabla u\nabla v$ .

Se puede demostrar que $$(L^1(0,T;H^1(\Omega)))^\star=L^\infty(0,T;H^1(\Omega)),$$

observando que la función $$T:(L^1(0,T;H^1(\Omega)))^\star\to L^\infty(0,T;H^1(\Omega)),$$

definido por $T(f)=u$ es un isomorfismo, donde $u$ es tal que $$f(v)=\int_0^T\langle u(t),v(t)\rangle dt,\ \forall\ v\in L^1(0,T;H^1(\Omega)),$$

por lo tanto, al tomar $X=L^1(0,T;H^1(\Omega))$ Tenemos eso, $u_n \rightharpoonup^\star u$ si y sólo si $$\int_0^T \langle u_n(t),v(t)\rangle dt\to \int_0^T \langle u(t),v(t)\rangle dt,\ \forall\ v\in L^1(0,T;H^1(\Omega)).$$