Existencia de función suave$f(x)$ que satisface la suma parcial

Question

Sabemos que $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\psi_{0} (n+1)-\psi_{0} (1)$, donde $\psi_{0}(x)$ es la función digamma.

Mi problema es,

(1).Hay una transformación que se asigna $x \to \frac{x(x+1)}{2}$ $\frac{1}{x} \to \psi_{0}(x+1)$ , y un mapa liso $f(x)$ a otra función suave $g(x)$, de tal manera que $g(x)-g(x-1)=f(x)$ ? Cuando menciono la transformación, me refiero a un operador o algoritmo para me $g(x)$$f(x)$.

(2). Seguramente $g(x)$ si existe, no es la única, porque $g(x)+C$ también satisface la condición. Tomemos $g(x)+C$ $g(x)$ como el mismo caso. Hay otro liso $h(x)\not = g(x)+C$ satisfacer esta condición?

El problema vino cuando traté de evaluar $\sum_{i=1}^{n} \sqrt{i}$, me gustaría representar por forma integral. Gracias por la atención!

Answer 1

Puede utilizar la zeta y la función zeta de Hurwitz función para escribir su suma. Como un caso más general de su suma, podemos tener la siguiente representación

$$\sum_{i=1}^{n} i^s = \sum_{i=1}^{\infty}i^s - \sum_{i=0}^{\infty}(i+n+1)^s = \zeta(-s) - \zeta(-s, n+1)\,.$$ Ahora, sustituyendo $s= -\frac{1}{2}$ arriba en la identidad de los rendimientos

$$\sum_{1}^{n} i^{\frac{1}{2}} = \zeta\left(-\frac{1}{2}\right) - \zeta\left(-\frac{1}{2}, n+1\right) \,.$$

Ver la convergencia de la zeta y la función zeta de Hurwitz función.